Um bloco de asbesto (
) com 15 cm de altura apresenta secção transversal quadrada com 5 cm de lado na sua extremidade menor, crescendo linearmente até 40 cm em sua extremidade maior. Se a extremidade menor é mantida a 800 K, e a maior, a 300 K, calcule a taxa de transferência de calor, considerando os demais lados isolados.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um bloco de asbesto com 15 cm de altura e uma secção transversal que varia de 5 cm de lado na extremidade menor para 40 cm de lado na extremidade maior. As temperaturas nas extremidades são 800 K e 300 K, respectivamente. Nosso objetivo é calcular a taxa de transferência de calor através desse bloco, considerando que os demais lados estão isolados.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor e cálculo integral, já que a área da secção transversal varia ao longo da altura do bloco.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as medidas para o Sistema Internacional de Unidades (SI) para facilitar os cálculos:
- Altura do bloco,
- Lado da secção menor,
- Lado da secção maior,
- Temperatura na extremidade menor,
- Temperatura na extremidade maior,
- Condutividade térmica do asbesto,
Passo 3
Como a secção transversal varia linearmente ao longo da altura, podemos expressar o lado da secção transversal em função da posição
ao longo do bloco:
Substituindo os valores:
Passo 4
A área da secção transversal
em qualquer posição
é dada por:
Passo 5
Para calcular a taxa de transferência de calor
, usamos a fórmula da condução de calor para áreas variáveis:
Onde:
-
(consideramos o valor absoluto depois) -
Passo 6
Vamos calcular a integral no denominador:
Fazendo a substituição
, então
e
.
Os limites de integração então mudam para
quando
e
quando
.
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, substituímos os valores na fórmula da taxa de transferência de calor:
Resposta
A taxa de transferência de calor é aproximadamente 11,53 W.