Um bloco de asbesto ( ) com 15 cm de altura apresenta secção transversal quadrada com 5 cm de lado na sua extremidade menor, crescendo linearmente até 40 cm em sua extremidade maior. Se a extremidade menor é mantida a 800 K, e a maior, a 300 K, calcule a taxa de transferência de calor, considerando os demais lados isolados.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um bloco de asbesto com 15 cm de altura e uma secção transversal que varia de 5 cm de lado na extremidade menor para 40 cm de lado na extremidade maior. As temperaturas nas extremidades são 800 K e 300 K, respectivamente. Nosso objetivo é calcular a taxa de transferência de calor através desse bloco, considerando que os demais lados estão isolados.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor e cálculo integral, já que a área da secção transversal varia ao longo da altura do bloco.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as medidas para o Sistema Internacional de Unidades (SI) para facilitar os cálculos:
  • Altura do bloco,
  • Lado da secção menor,
  • Lado da secção maior,
  • Temperatura na extremidade menor,
  • Temperatura na extremidade maior,
  • Condutividade térmica do asbesto,

Passo 3

Como a secção transversal varia linearmente ao longo da altura, podemos expressar o lado da secção transversal em função da posição ao longo do bloco:
Substituindo os valores:

Passo 4

A área da secção transversal em qualquer posição é dada por:

Passo 5

Para calcular a taxa de transferência de calor , usamos a fórmula da condução de calor para áreas variáveis:
Onde:
  • (consideramos o valor absoluto depois)

Passo 6

Vamos calcular a integral no denominador:
Fazendo a substituição , então e .
Os limites de integração então mudam para quando e quando .
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, substituímos os valores na fórmula da taxa de transferência de calor:

Resposta

A taxa de transferência de calor é aproximadamente 11,53 W.

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