Um bloco de asbesto ( k=0,173 W / m K ) com 15 cm de altura apresenta secção transversal quadrada com 5 cm de lado na sua extremidade menor, crescendo linearmente até 40 cm em sua extremidade maior. Se a extremidade menor é mantida a 800 K, e a maior, a 300 K, calcule a taxa de transferência de calor, considerando os demais lados isolados.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um bloco de asbesto com 15 cm de altura e uma secção transversal que varia de 5 cm de lado na extremidade menor para 40 cm de lado na extremidade maior. As temperaturas nas extremidades são 800 K e 300 K, respectivamente. Nosso objetivo é calcular a taxa de transferência de calor através desse bloco, considerando que os demais lados estão isolados.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor e cálculo integral, já que a área da secção transversal varia ao longo da altura do bloco.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as medidas para o Sistema Internacional de Unidades (SI) para facilitar os cálculos:
  • Altura do bloco,
  • Lado da secção menor,
  • Lado da secção maior,
  • Temperatura na extremidade menor,
  • Temperatura na extremidade maior,
  • Condutividade térmica do asbesto,

Passo 3

Como a secção transversal varia linearmente ao longo da altura, podemos expressar o lado da secção transversal em função da posição s(x) = s1 + ( s2 - s1L ) x ao longo do bloco:
s(x) = 0,05 , m + ( 0,40 , m - 0,05 , m0,15 , m ) x = 0,05 + 2,333x
Substituindo os valores:

Passo 4

A área da secção transversal A(x) = s(x)^2 = ( 0,05 + 2,333x )^2 em qualquer posição é dada por:

Passo 5

Para calcular a taxa de transferência de calor Qt = k De, usamos a fórmula da condução de calor para áreas variáveis:
Onde:
  • (consideramos o valor absoluto depois)

Passo 6

Vamos calcular a integral no denominador:
integral0^0,15 1( 0,05 + 2,333x )^2 , dx
Fazendo a substituição 12,333 integral0,05^0,40 1u^2 , du = 12,333 [ -1u ]0,05^0,40 = 12,333 ( -10,40 + 10,05 ) = 12,333 times 17,5 approx 7,5 , então e .
Os limites de integração então mudam para quando e quando .
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, substituímos os valores na fórmula da taxa de transferência de calor:
Qt = 0,173 times 5007,5 = 86,57,5 approx 11,53 , W

Resposta

A taxa de transferência de calor é aproximadamente 11,53 W.

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