7- Um bocal convergente-divergente descarrega ar para dentro de um tubo termicamente isolado, com área de 650 mm^2. Na entrada do tubo P=128 kPa (abs), T=39^circ C e M=2,0. Para um escoamento sem choque até um número de Mach igual 1 na saída, calcule o comprimento do tubo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um bocal convergente-divergente que está descarregando ar dentro de um tubo isolado termicamente. As informações que temos são:
  • Área na entrada do tubo:
  • Pressão na entrada: (absoluta)
  • Temperatura na entrada:
  • Massa molar do ar:
  • Queremos encontrar o comprimento do tubo para que o fluxo seja supersonico (Mach = 1) na saída, sem ocorrência de choque.
Para resolver isso, vamos usar a teoria de escoamento compressível, especificamente as equações de fluxo isentrópico e a relação de Mach para tubos convergentes-divergentes.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos.
  • Área:
  • Temperatura:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a velocidade do ar na entrada do tubo. Para isso, usamos a equação de conservação de massa:
dotm = rho cdot A cdot V
Onde:
  • rho = PR cdot T é a vazão de massa
  • R = 8,3142,0 = 4,157 , J/(kg·K) é a densidade do ar
  • rho = 1280004,157 times 312,15 approx 1280001299,65 approx 98,5 , kg/m^3 é a área da seção transversal
  • é a velocidade do fluxo
Como estamos tratando de fluxo compressível, vamos usar a equação de estado dos gases ideais para encontrar a densidade:
Onde:
  • é a pressão
  • é a constante dos gases,
  • é a constante universal dos gases
  • é a massa molar
Calculando :
Agora, calculamos a densidade:

Passo 4

Com a densidade, podemos encontrar a velocidade na entrada ( V1 = dotmrho cdot A ):
Mas ainda não temos a vazão de massa ( ). No entanto, podemos relacionar isso com o número de Mach. Na entrada, assumimos que o fluxo é subsônico, mas queremos que na saída seja Mach 1.
Vamos usar a relação de Mach para tubos convergentes-divergentes, considerando que no ponto de saída . Para escoamento isentrópico, podemos usar a equação de comprimento de tubo para atingir Mach 1, que envolve integral da velocidade em função do comprimento.

Passo 5

A relação entre o comprimento do tubo ( L = integral1^M Va , dM ) e a velocidade do fluxo pode ser estabelecida usando as equações de escoamento isentrópico para gases compressíveis. A fórmula para o comprimento crítico do tubo, onde o fluxo atinge , é dada por:
Onde:
  • é a velocidade do fluxo
  • é a velocidade do som,
  • é a razão de calores específicos, para o ar é aproximadamente 1,4
Calcular essa integral nos dará o comprimento necessário do tubo para que o fluxo atinja Mach 1 na saída sem ocorrência de choque.

Passo 6

Primeiro, calculamos a velocidade do som na entrada ( a1 = raizgamma cdot R cdot T = raiz1,4 times 4,157 times 312,15 approx raiz1,4 times 4,157 times 312,15 approx raiz1822,92 approx 42,7 , m/s ):

Passo 7

Na condição de Mach 1 na saída, a velocidade do fluxo será igual à velocidade do som na saída ( L = a1dVdL ). Como o fluxo é isentrópico e sem choque, a temperatura e a pressão na saída podem ser relacionadas com as condições de entrada usando as relações de escoamento compressível.
Contudo, para simplificar, podemos usar a equação para o comprimento do tubo até Mach 1 para fluxo isentrópico:
Mas precisamos relacionar isso com os parâmetros dados. Um método mais direto é usar tabelas ou diagramas de Mach para tubos convergentes-divergentes, mas como estamos fazendo isso de forma analítica, vamos usar a equação diferencial de escoamento compressível.

Passo 8

A equação diferencial para o comprimento do tubo em função do número de Mach é:
dLdx = 1Va cdot 11 + (gamma - 1)/2 cdot M^2
Integrando de L = integral0^1 aV cdot (1 + gamma - 12 M^2 ) dM a L = integral0^1 aM cdot a cdot (1 + gamma - 12 M^2 ) dM = integral0^1 1M (1 + gamma - 12 M^2 ) dM , obtemos:
L = integral0^1 1M + gamma - 12 M , dM = [ ln M + gamma - 14 M^2 ]0^1
Substituindo :
Isso se simplifica para:
No entanto, a integral tende a menos infinito quando , o que indica a necessidade de uma abordagem mais adequada para o escoamento.

Passo 9

Em vez de integrar diretamente, podemos usar a relação conhecida para o comprimento de um tubo isentrópico até Mach 1:
L = a1( dVdL )Mach 1
Considerando que no ponto crítico ( ( dVdL ) = aL ):
L = a1( dVdL )
Portanto, o comprimento do tubo pode ser estimado usando:
Com base nas relações de escoamento, a estimativa final para o comprimento pode ser calculada numericamente ou usando aproximações específicas para escoamentos isentrópicos até Mach 1.

Resposta

Após realizar os cálculos e considerar as relações de escoamento isentrópico para atingir Mach 1 na saída do tubo, o comprimento do tubo necessário é de aproximadamente X metros.
(Nota: Para obter o valor exato de X, uma análise mais detalhada ou o uso de tabelas específicas de fluxo compressível seria necessário. A abordagem apresentada fornece a metodologia para resolver o problema.)

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