Uma bola de golfe recebe uma tacada no chão. A velocidade da bola em função do tempo é mostrada na Fig. 4-40, onde t=0 é o instante em que a bola foi golpeada. (a) Que distância a bola de golfe percorre na horizontal antes de voltar ao nível do solo? (b) Qual é a altura máxima atingida pela bola acima do solo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma bola de golfe que foi chutada no chão e queremos descobrir duas coisas: a distância que a bola percorre na horizontal antes de voltar para o chão (parte a), e qual a altura máxima que ela alcança (parte b). Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento projetado na física, especificamente as fórmulas de cinemática que tratam de movimentos horizontal e vertical separados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a velocidade da bola. Quando a bola é chutada, ela tem uma velocidade inicial que podemos dividir em duas componentes: horizontal e vertical. Vamos chamar a velocidade inicial de e o ângulo de lançamento de . Assim, a velocidade horizontal é e a velocidade vertical é .

Passo 3

Para encontrar a distância horizontal total que a bola percorre, precisamos saber por quanto tempo a bola fica no ar. Esse tempo é determinado pelo movimento vertical. Usamos a fórmula da posição vertical:
y(t) = v0y t - 12 g t^2
Onde é a aceleração da gravidade ( ).

Passo 4

Como a bola volta ao solo, a posição vertical final 0 = v0y t - 12 g t^2 é zero. Então, resolvemos a equação:
t (v0y - 12 g t) = 0
Fatorando t = 2 v0yg :
Assim, temos duas soluções: s (o instante do chute) e:
Esse é o tempo total de voo da bola.

Passo 5

Agora que temos o tempo total no ar, podemos calcular a distância horizontal percorrida. Sabemos que a velocidade horizontal d = v0x times t permanece constante (sem resistência do ar). Então, a distância d = v0x times 2 v0yg é:
d = v0 cos(theta) times 2 v0 sin(theta)g
Substituindo d = 2 v0^2 sin(theta) cos(theta)g de antes:
d = v0^2 sin(2theta)g
Usando as expressões de e :
Simplificando:
E utilizando a identidade trigonométrica :

Passo 6

Para a altura máxima, vamos focar no movimento vertical. No ponto mais alto, a velocidade vertical é zero. Usamos a fórmula:
vfy = v0y - g t
Colocando 0 = v0y - g t :
t = v0yg
Então:
Esse é o tempo que a bola leva para alcançar a altura máxima.

Passo 7

Agora, calculamos a altura máxima h = v0y t - 12 g t^2 usando a posição vertical:
h = v0y times v0yg - 12 g ( v0yg )^2
Substituindo h = v0y^2g - v0y^22g = v0y^22g de antes:
h = v0^2 sin^2(theta)2g
Simplificando:
Usando :

Resposta

(a) A distância horizontal percorrida pela bola antes de voltar ao solo é:
d = v0^2 sin(2theta)g
(b) A altura máxima atingida pela bola acima do solo é:
h = v0^2 sin^2(theta)2g

Exercícios relacionados