Uma bomba retira água de um reservatório através de um tubo de sucção de 150 mm de diâmetro e a descarrega para um tubo de saída de 75 mm de diâmetro. A extremidade do tubo de sucção está 2 m abaixo da superfície livre do reservatório. O manômetro no tubo de descarga (2 m acima da superfície do reservatório) indica 170 kPa. A velocidade média no tubo de descarga é de 3 m / s. Se a eficiência da bomba é 75 %, determine a potência necessária para acioná-la.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos uma bomba que está retirando água de um reservatório através de um tubo de sucção com diâmetro de 150 mm e descarregando para um tubo de saída com diâmetro de 75 mm. A extremidade do tubo de sucção está 2 metros abaixo da superfície da água, e o manômetro no tubo de descarga, que está 2 metros acima da superfície, indica uma pressão de 170 kPa. Além disso, a velocidade média da água no tubo de descarga é de . Queremos descobrir qual é a potência necessária para acionar essa bomba, sabendo que sua eficiência é de 75%.
Para resolver esse exercício, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, especialmente a equação de continuidade e a equação de Bernoulli, além de considerar a eficiência da bomba na transferência de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos converter os diâmetros dos tubos de sucção e descarga para metros:
Dsu = 150 , mm = 0,15 , m
Dde = 75 , mm = 0,075 , m

Passo 3

Agora, vamos calcular as áreas das seções transversais dos tubos utilizando a fórmula da área do círculo:
A = pi D^24
Para o tubo de sucção:
Asu = pi (0,15)^24 = pi times 0,02254 approx 0,0177 , m^2
Para o tubo de descarga:
Ade = pi (0,075)^24 = pi times 0,0056254 approx 0,0044 , m^2

Passo 4

Vamos usar a equação de continuidade, que nos diz que o fluxo volumétrico é constante em um sistema fechado. A equação é:
Asu vsu = Ade vde
Como queremos encontrar a velocidade no tubo de sucção ( vsu = AdeAsu vde ), reorganizamos a equação:
vsu = 0,00440,0177 times 3 approx 0,75 , m/s
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a equação de Bernoulli para relacionar as pressões, velocidades e alturas nos pontos de sucção e descarga. A equação é:
Psu + 12 rho vsu^2 + rho g hsu = Pde + 12 rho vde^2 + rho g hde + De
Onde:
  • h = hde - hsu = 2 - (-2) = 4 , m é a pressão,
  • De é a densidade da água ( De),
  • De é a velocidade,
  • De é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura,
  • é a pressão fornecida pela bomba.
Como a extremidade do tubo de descarga está 2 metros acima da superfície e a sucção está 2 metros abaixo, a diferença de altura ( ) é de 4 metros:
Assumindo que a pressão no ponto de sucção ( ) é atmosférica, podemos simplificar a equação para encontrar :
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos calcular a vazão volumétrica ( Q = Ade times vde = 0,0044 times 3 approx 0,0132 , m^3/s ) usando a velocidade no tubo de descarga e a área correspondente:

Passo 7

A potência fornecida pela bomba sem considerar a eficiência é dada por:
Pideal = De
Substituindo os valores:
Pideal = 213458,75 times 0,0132 approx 2814,17 , W

Passo 8

Como a eficiência da bomba é de 75%, a potência real necessária ( Preal = Pidealeta ) é maior que a potência ideal. A relação entre elas é:
Preal = 2814,170,75 approx 3752,23 , W
Onde . Então:

Resposta

A potência necessária para acionar a bomba é aproximadamente .

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