O brinquedo pula-pula (cama elástica) é composto por uma lona circular flexível horizontal presa por molas à sua borda. As crianças brincam pulando sobre ela, alterando e alternando suas formas de energia. Ao pular verticalmente, desprezando o atrito com o ar e os movimentos de rotação do corpo enquanto salta, uma criança realiza um movimento periódico vertical em torno da posição de equilíbrio da lona ( h=0 ), passando pelos pontos de máxima e de mínima alturas, h máx á e h min , respectivamente.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um brinquedo conhecido como pula-pula ou cama elástica. Ele é basicamente uma lona circular que é fixada na borda por molas. Quando uma criança pula, ela cria um movimento para cima e para baixo, meio que alternando entre energia cinética (quando está se movendo) e energia potencial (quando está no ponto mais alto ou mais baixo). O que a gente precisa entender aqui é como esse movimento acontece de forma periódica, ou seja, como ele se repete ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Mecânica Clássica, especificamente Movimento Harmônico Simples, que nos ajuda a descrever movimentos oscilatórios como esse do pula-pula.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o que acontece quando a criança pula no pula-pula. Quando ela está na posição de equilíbrio (onde a lona está nivelada, indicando que a altura $ h = 0 $), a força das molas está equilibrada pela força gravitacional. Mas quando a criança pula para cima ou para baixo, ela está esticando ou comprimindo as molas, o que cria uma força restauradora que tenta trazê-la de volta para a posição de equilíbrio. Essa força é proporcional ao deslocamento da criança em relação a essa posição de equilíbrio.
Matematicamente, essa força pode ser descrita pela Lei de Hooke, que é dada por:
h = 0
Onde:
  • $ F $ é a força restauradora,
  • $ k $ é a constante elástica das molas,
  • $ h $ é o deslocamento da posição de equilíbrio.

Passo 3

Agora, sabemos que a segunda lei de Newton relaciona a força resultante com a aceleração:
F = m cdot a
Substituindo a força restauradora da Lei de Hooke nessa equação, temos:
m cdot a = -k cdot h
Como a aceleração $ a $ é a segunda derivada da posição em relação ao tempo ($ a = \frac{d2h}{dt2} $), podemos reescrever a equação como:
a

Passo 4

Essa equação é a equação diferencial do Movimento Harmônico Simples (MHS). A solução dessa equação nos dá a posição $ h(t) $ da criança em qualquer instante de tempo $ t $. A solução geral do MHS é:
h(t)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude do movimento (a maior altura ou profundidade que a criança atinge),
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ \phi $ é a fase inicial.

Passo 5

A frequência angular $ \omega $ está relacionada à constante elástica $ k $ e à massa $ m $ da criança pela fórmula:
omega
A partir disso, podemos encontrar o período $ T $ do movimento, que é o tempo que a criança leva para completar uma oscilação completa no pula-pula. A relação entre o período e a frequência angular é:
k

Resposta

Então, o período $ T $ do movimento periódico da criança no pula-pula é dado por:
T
Isso significa que o tempo que a criança leva para completar um ciclo completo de salto depende da sua massa $ m $ e da constante elástica $ k $ das molas do pula-pula.

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