© Determine o valor do erro em regime permanente que seria observado no sistema caso: r(t)=u(t); r(t)=t u(t); ou r(t)=t^2 u(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir o erro em regime permanente de um sistema para três tipos de entradas: uma escada (u(t)), uma rampa (t u(t)) e uma parábola (t² u(t)). Isso está dentro da matéria de Controle de Sistemas, especificamente tratando de como o sistema responde a diferentes comandos de entrada. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre teorema do valor final e os tipos de sistema baseados nos integradores presentes na função de transferência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é erro em regime permanente. É a diferença entre o valor desejado da saída e o valor que o sistema realmente atinge quando ele atinge o estado estacionário, ou seja, depois que tudo se estabiliza.

Passo 3

Agora, para calcular esse erro, usamos o Teorema do Valor Final. Esse teorema nos diz que, se temos uma função no domínio de Laplace, podemos encontrar seu comportamento de longo prazo (quando t tende ao infinito) usando:
limt to infty f(t) = lims to 0 s F(s)
Onde é a transformada de Laplace de .

Passo 4

Precisamos também saber o tipo do sistema, que é determinado pelo número de integradores no polo de na função de transferência em malha aberta .
  • Tipo 0: Nenhum integrador.
  • Tipo 1: Um integrador.
  • Tipo 2: Dois integradores.
Quanto maior o tipo, melhor o sistema consegue acompanhar entradas mais complexas sem erro em regime permanente.

Passo 5

Vamos considerar cada entrada:
  1. Entrada Escada ess = 11 + Kp :
    • Para uma entrada escada, o erro em regime permanente depende do constante de erro de posição Kp = lims to 0 G(s) .
    • A fórmula geral é: ess = 1Kv
    • Onde: Kv = lims to 0 s G(s)
  2. Entrada Rampa ess = 1Ka :
    • Para uma entrada rampa, usamos o constante de erro de velocidade Ka = lims to 0 s^2 G(s) .
    • A fórmula é:
    • Onde:
  3. Entrada Parábola :
    • Para uma entrada parábola, utilizamos o constante de erro de aceleração .
    • A fórmula é:
    • Onde:

Passo 6

Então, resumindo:
  • Para , calculamos e usamos .
  • Para , calculamos e usamos .
  • Para , calculamos e usamos .

Resposta

O erro em regime permanente para cada entrada é dado por:
  • Para ess = 11 + Kp :
    ess = 1Kv
  • Para ess = 1Ka :
  • Para :

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