© Determine o valor do erro em regime permanente que seria observado no sistema caso:
;
; ou
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir o erro em regime permanente de um sistema para três tipos de entradas: uma escada (
u(t)
), uma rampa (t u(t)
) e uma parábola (t² u(t)
). Isso está dentro da matéria de Controle de Sistemas, especificamente tratando de como o sistema responde a diferentes comandos de entrada. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre teorema do valor final e os tipos de sistema baseados nos integradores presentes na função de transferência.Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é erro em regime permanente. É a diferença entre o valor desejado da saída e o valor que o sistema realmente atinge quando ele atinge o estado estacionário, ou seja, depois que tudo se estabiliza.
Passo 3
Agora, para calcular esse erro, usamos o Teorema do Valor Final. Esse teorema nos diz que, se temos uma função no domínio de Laplace, podemos encontrar seu comportamento de longo prazo (quando t tende ao infinito) usando:
Onde
é a transformada de Laplace de
.
Passo 4
Precisamos também saber o tipo do sistema, que é determinado pelo número de integradores no polo de
na função de transferência em malha aberta
.
- Tipo 0: Nenhum integrador.
- Tipo 1: Um integrador.
- Tipo 2: Dois integradores.
Quanto maior o tipo, melhor o sistema consegue acompanhar entradas mais complexas sem erro em regime permanente.
Passo 5
Vamos considerar cada entrada:
-
Entrada Escada
: - Para uma entrada escada, o erro em regime permanente depende do constante de erro de posição
. - A fórmula geral é:
- Onde:
- Para uma entrada escada, o erro em regime permanente depende do constante de erro de posição
-
Entrada Rampa
: - Para uma entrada rampa, usamos o constante de erro de velocidade
. - A fórmula é:
- Onde:
- Para uma entrada rampa, usamos o constante de erro de velocidade
-
Entrada Parábola
: - Para uma entrada parábola, utilizamos o constante de erro de aceleração
. - A fórmula é:
- Onde:
- Para uma entrada parábola, utilizamos o constante de erro de aceleração
Passo 6
Então, resumindo:
- Para
, calculamos e usamos . - Para
, calculamos e usamos . - Para
, calculamos e usamos .
Resposta
O erro em regime permanente para cada entrada é dado por:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: