© lim x 0 x-arctan xx^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos o limite quando se aproxima de 0 na expressão . Esse problema está na área de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo limites e funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos precisar entender como a função arco-tangente se comporta perto de 0 e usar expansões em séries de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de aproximar funções usando polinômios. Para funções como arctan x = x - x^33 + x^55 - x^77 + dots , podemos expandi-las em uma série quando está próximo de 0. A série de Taylor da é:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expansão na nossa expressão original. A gente tem:
x - arctan x = x - ( x - x^33 + x^55 - dots )
Simplificando:
x - arctan x = x - x + x^33 - x^55 + dots = x^33 - x^55 + dots

Passo 4

Agora, vamos colocar isso de volta na fração original:
x - arctan xx^3 = x^33 - x^55 + dots x^3 = x^33x^3 - x^55x^3 + dots = 13 - x^25 + dots

Passo 5

Observamos que, conforme 13 se aproxima de 0, os termos com e superiores tornam-se muito pequenos e praticamente desaparecem. Então, restando apenas:

Resposta

O limite é .

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