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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos o limite quando se aproxima de 0 na expressão . Esse problema está na área de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo limites e funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos precisar entender como a função arco-tangente se comporta perto de 0 e usar expansões em séries de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de aproximar funções usando polinômios. Para funções como , podemos expandi-las em uma série quando está próximo de 0. A série de Taylor da é:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expansão na nossa expressão original. A gente tem:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos colocar isso de volta na fração original:

Passo 5

Observamos que, conforme se aproxima de 0, os termos com e superiores tornam-se muito pequenos e praticamente desaparecem. Então, restando apenas:

Resposta

O limite é .

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(a)
(b)
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(d)
(e)
(f)
(g)
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