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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos o limite quando
se aproxima de 0 na expressão
. Esse problema está na área de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo limites e funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos precisar entender como a função arco-tangente se comporta perto de 0 e usar expansões em séries de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de aproximar funções usando polinômios. Para funções como
, podemos expandi-las em uma série quando
está próximo de 0. A série de Taylor da
é:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa expansão na nossa expressão original. A gente tem:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos colocar isso de volta na fração original:
Passo 5
Observamos que, conforme
se aproxima de 0, os termos com
e superiores tornam-se muito pequenos e praticamente desaparecem. Então, restando apenas:
Resposta
O limite é
.