c) O que pode ser dito sobre a independência de B1, B2 e B3 onde Bi inAi, Ai^comp<=ment.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo perguntado. Temos três eventos e , onde cada pode ser ou ou o complemento de , ou seja, . A questão quer saber o que podemos dizer sobre a independência desses eventos e .
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com o conceito de independência de eventos na probabilidade.
O que vamos precisar: Entender o que significa dois ou mais eventos serem independentes e como usar essa definição para verificar a independência de e .

Passo 2

O que é independência de eventos? Dois eventos P(E cap F) = P(E) times P(F) e são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Matematicamente, isso é expresso por:
Para mais de dois eventos, como e , a definição se estende da seguinte forma: qualquer combinação de eventos deve satisfazer a multiplicação das probabilidades individuais.

Passo 3

Assumindo que os eventos P(Ai^comp<=ment) = 1 - P(Ai) e são independentes, precisamos verificar se escolher como ou mantém essa independência.
Sabemos que o complemento de um evento também tem probabilidade definida por:
E, se e são independentes, então todas as combinações de e também serão independentes. Isso porque a independência é preservada quando consideramos eventos complementares.

Passo 4

Vamos ver um exemplo concreto para ilustrar. Suponha que P(B1 cap B2 cap B3) = P(B1) times P(B2) times P(B3) , P(B1 cap B2 cap B3) = P(A1 cap A2^comp<=ment cap A3) = P(A1) times P(A2^comp<=ment) times P(A3) e .
Para verificar a independência, precisamos checar se:
Como são independentes, temos:
Isso confirma que e são independentes.

Resposta

Os eventos e , onde cada é ou , são independentes entre si.

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