Uma fundição produz cabos de aço usados na indústria automotiva. Deseja-se testar a hipótese de que a fração de itens nãoconformes é menor que 10%. Em uma amostra aleatória de 250 cabos, detectou-se que 24 estavam fora das especificações. Usar alpha=0,05.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que envolve estatística, mais especificamente um teste de hipótese sobre proporções. A empresa produz cabos de aço e quer saber se a fração de cabos fora das especificações é menor que 10%. Para resolver isso, vamos precisar usar o teste de proporção, que nos ajuda a verificar se a proporção observada na amostra difere de uma proporção conhecida ou suposta. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Tamanho da amostra ( n): 250 cabos
  • Número de cabos fora das especificações ( x): 24
  • Proporção hipotética ( p0): 10% ou 0,10
  • Nível de significância ( alpha): 0,05

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra ( p):
p = xn = 24250 = 0,096
Isso significa que 9,6% dos cabos na amostra estavam fora das especificações.

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão nos dá uma ideia de quanto a proporção observada pode variar em torno da proporção hipotética. A fórmula para o erro padrão ( SE) é:
SE = raizp0 (1 - p0)n = raiz0,10 times 0,90250 = raiz0,09250 approx 0,019

Passo 5

Com o erro padrão, podemos calcular o valor do teste estatístico ( z). A fórmula para z é:
z = p - p0SE = 0,096 - 0,100,019 approx -0,0040,019 approx -0,21

Passo 6

Agora, vamos determinar o valor crítico ou o p-valor para decidir se rejeitamos a hipótese nula ( H0). Como é um teste unilateral (queremos saber se a proporção é MENOR que 10%), procuramos a probabilidade de Z ser menor que -0,21.
Usando uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora, encontramos:
P(Z < -0,21) approx 0,4168

Passo 7

Com o p-valor calculado (aproximadamente 0,4168) e comparando com o nível de significância ( alpha = 0,05), vemos que:
0,4168 > 0,05
Isso significa que a probabilidade observada é maior que o nível de significância.

Resposta

Não há evidências suficientes para afirmar que a fração de itens não conformes é menor que 10% ao nível de significância de 5%.

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