Um cabo coaxial opera em 25 MHz . Este cabo de 10 m construído com condutores de cobre ( a=0,2 mm e b=3,6 a, mu=mu 0, varepsilon r=2,2 e tangente de perdas =0,001 ) é alimentado por um gerador de 50 Ohms, que fornece quando em aberto 10 Vef. Determine a tensão, corrente e potência na entrada e na saída deste cabo quando ele é corretamente casado.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cabo coaxial operando em 25 MHz, com 10 metros de comprimento e algumas características físicas específicas. O gerador tem 50 Ohms e fornece 10 Vef quando está em circuito aberto. Nosso objetivo é determinar a tensão, corrente e potência na entrada e na saída desse cabo quando ele está corretamente casado, ou seja, quando as impedâncias estão ajustadas para máxima transferência de energia.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transmissão de ondas em linhas de transmissão, especificamente a impedância característica, a reflexão de ondas e as relações entre tensão e corrente numa linha casada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a impedância característica ( Z0 = 12pi raizmuvarepsilon ln(ba) ) do cabo coaxial. A impedância característica de um cabo coaxial é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a permeabilidade magnética do meio,
  • é a permissividade elétrica do meio,
  • é o raio do condutor interno,
  • é o raio do condutor externo.
Sabemos que e , então , onde é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos calcular varepsilon = varepsilonr times varepsilon0 = 2,2 times 8,854 times 10^-12 , F/m approx 1,947 times 10^-11 , F/m :
E a permeabilidade é simplesmente .

Passo 4

Agora, vamos calcular ln(ba) = ln(0,72 times 10^-30,2 times 10^-3) = ln(3,6) approx 1,2809 . Sabendo que e :

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula da impedância característica:
Z0 = 12pi raiz4pi times 10^-71,947 times 10^-11 times 1,2809
Primeiro, vamos calcular a raiz quadrada:
raiz4pi times 10^-71,947 times 10^-11 = raiz4pi1,947 times 10^4 approx raiz6,467 times 10^4 approx 254,3
Então:
Z0 = 12pi times 254,3 times 1,2809 approx 254,3 times 1,28096,283 approx 325,36,283 approx 51,7 , Omega

Passo 6

Agora que temos a impedância característica , e o gerador tem uma impedância de , podemos considerar que o cabo está corretamente casado, já que as impedâncias são muito próximas.
Quando a linha está casada, não há reflexões de onda, e a tensão e corrente na entrada e na saída do cabo são as mesmas.

Passo 7

Sabemos que o gerador fornece uma tensão eficaz ( V = Vef times Z0Z0 + Zg = 10 times 51,751,7 + 50 approx 10 times 51,7101,7 approx 5,08 , V ) de em circuito aberto. Porém, quando a linha está casada, a tensão na entrada será dividida pela impedância:

Passo 8

A corrente eficaz ( I = VZ0 = 5,0851,7 approx 0,098 , A ) pode ser calculada usando a relação:

Passo 9

A potência entregue ao cabo pode ser calculada por:
P = V times I = 5,08 times 0,098 approx 0,498 , W

Resposta

Quando o cabo está corretamente casado, a tensão na entrada e na saída é de aproximadamente , a corrente é de cerca de e a potência é de aproximadamente .

Exercícios relacionados