Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .

Passo 1

Ok, vamos ver esse exercício! A gente precisa analisar a função . Os tópicos que vamos abordar são:
  1. Crescimento e decrescimento da função.
  2. Valores máximos e mínimos locais.
  3. Concavidade e pontos de inflexão.
  4. Esboço do gráfico da função.
Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de derivadas: a primeira derivada para entender onde a função está aumentando ou diminuindo e encontrar extremos, e a segunda derivada para analisar a concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde a função está crescente ou decrescente. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada de .
A derivada de é:
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde :
Esses pontos dividem a reta real em intervalos. Vamos testar a derivada em cada intervalo para ver se é positiva (crescente) ou negativa (decrescente).
  • Intervalo : Vamos escolher
  • Intervalo : Vamos escolher
  • Intervalo : Vamos escolher
  • Intervalo : Vamos escolher

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores máximos e mínimos locais usando os pontos críticos que encontramos ( ).
  • No ponto :
    • A derivada muda de negativa para positiva, o que indica um mínimo local.
  • No ponto :
    • A derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local.
  • No ponto :
    • A derivada muda de negativa para positiva, indicando outro mínimo local.
Vamos calcular os valores de nesses pontos:
Então, temos:
  • Máximo local em com .
  • Mínimos locais em e com .

Passo 4

Vamos analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão usando a segunda derivada de .
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, vamos encontrar onde :
Esses são os pontos de inflexão, onde a concavidade muda.
Vamos testar a segunda derivada nos intervalos determinados por esses pontos:
  • Intervalo : Vamos escolher
  • Intervalo : Vamos escolher
  • Intervalo : Vamos escolher
Então:
  • Concavidade para cima em e .
  • Concavidade para baixo em .
  • Pontos de inflexão em .
Vamos calcular nesses pontos de inflexão:

Passo 5

Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função com base nas informações que obtivemos:
  • Interseção com o eixo Y: .
  • Máximo local em .
  • Mínimos locais em e .
  • Concavidade para cima em e .
  • Concavidade para baixo em .
  • Pontos de inflexão em .
O gráfico terá a forma de um “W” estilizado devido ao termo , com os mínimos em , máximo em , e pontos de inflexão onde a concavidade muda.

Resposta

  1. Intervalos de aumento e diminuição:
    • Crescente em e .
    • Decrescente em e .
  2. Valores máximos e mínimos locais:
    • Máximo local em com .
    • Mínimos locais em e com .
  3. Concavidade e pontos de inflexão:
    • Concavidade para cima em e .
    • Concavidade para baixo em .
    • Pontos de inflexão em .
  4. Esboço do gráfico: Um gráfico em forma de “W” com os pontos mencionados acima, destacando os máximos, mínimos e pontos de inflexão.

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(a)
(b)
(a)
(b)
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Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .
Calcule o valor das as integrais a seguir.
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e)
f) ;
g)
h) ;
i) ;
j) ;
k) ;
l) .