Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
.
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
.
(iv) Esboce o gráfico de
.
(i) Encontre os intervalos nos quais
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
(iv) Esboce o gráfico de
Passo 1
Ok, vamos ver esse exercício! A gente precisa analisar a função
. Os tópicos que vamos abordar são:
- Crescimento e decrescimento da função.
- Valores máximos e mínimos locais.
- Concavidade e pontos de inflexão.
- Esboço do gráfico da função.
Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de derivadas: a primeira derivada para entender onde a função está aumentando ou diminuindo e encontrar extremos, e a segunda derivada para analisar a concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde a função está crescente ou decrescente. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada de
.
A derivada de
é:
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde
:
Esses pontos dividem a reta real em intervalos. Vamos testar a derivada em cada intervalo para ver se
é positiva (crescente) ou negativa (decrescente).
-
Intervalo
: Vamos escolher -
Intervalo
: Vamos escolher -
Intervalo
: Vamos escolher -
Intervalo
: Vamos escolher
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores máximos e mínimos locais usando os pontos críticos que encontramos (
).
-
No ponto
: - A derivada muda de negativa para positiva, o que indica um mínimo local.
-
No ponto
: - A derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local.
-
No ponto
: - A derivada muda de negativa para positiva, indicando outro mínimo local.
Vamos calcular os valores de
nesses pontos:
Então, temos:
- Máximo local em
com . - Mínimos locais em
e com .
Passo 4
Vamos analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão usando a segunda derivada de
.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, vamos encontrar onde
:
Esses são os pontos de inflexão, onde a concavidade muda.
Vamos testar a segunda derivada nos intervalos determinados por esses pontos:
-
Intervalo
: Vamos escolher -
Intervalo
: Vamos escolher -
Intervalo
: Vamos escolher
Então:
- Concavidade para cima em
e . - Concavidade para baixo em
. - Pontos de inflexão em
.
Vamos calcular
nesses pontos de inflexão:
Passo 5
Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função
com base nas informações que obtivemos:
- Interseção com o eixo Y:
. - Máximo local em
. - Mínimos locais em
e . - Concavidade para cima em
e . - Concavidade para baixo em
. - Pontos de inflexão em
.
O gráfico terá a forma de um “W” estilizado devido ao termo
, com os mínimos em
, máximo em
, e pontos de inflexão onde a concavidade muda.
Resposta
-
Intervalos de aumento e diminuição:
- Crescente em
e . - Decrescente em
e .
- Crescente em
-
Valores máximos e mínimos locais:
- Máximo local em
com . - Mínimos locais em
e com .
- Máximo local em
-
Concavidade e pontos de inflexão:
- Concavidade para cima em
e . - Concavidade para baixo em
. - Pontos de inflexão em
.
- Concavidade para cima em
-
Esboço do gráfico: Um gráfico em forma de “W” com os pontos mencionados acima, destacando os máximos, mínimos e pontos de inflexão.
Exercícios relacionados
(a)
(b)
(b)
(a)
(b)
©
(b)
©
Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .
(i) Encontre os intervalos nos quais
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
(iv) Esboce o gráfico de
Calcule o valor das as integrais a seguir.
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) ;
g)
h) ;
i) ;
j) ;
k) ;
l) .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)