Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
.
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
.
(iv) Esboce o gráfico de
.
(i) Encontre os intervalos nos quais
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
(iv) Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com a função
. O que a gente precisa fazer aqui envolve conceitos de cálculo, como derivadas, para analisar onde a função está aumentando ou diminuindo, encontrar máximos e mínimos, entender a concavidade e até esboçar o gráfico dela. Vamos precisar usar derivadas primeira e segunda para isso. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, a gente precisa encontrar a primeira derivada de
, que nos diz a taxa de variação da função.
A derivada de
usando a regra do quociente é:
Simplificando o numerador:
Passo 3
Agora que temos
, vamos ver onde essa derivada é positiva ou negativa. Isso nos dirá onde a função está aumentando ou diminuindo.
O denominador
é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo e
nunca é zero.
Então, o sinal de
depende apenas do numerador, que é
.
- Se
(ou seja, ), então : função está crescente. - Se
(ou seja, ), então : função está decrescente.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é zero ou não existe, porque esses pontos podem ser candidatos a máximos ou mínimos locais.
A derivada
será zero quando o numerador for zero:
Como o denominador nunca é zero, a única vez que a derivada é zero é em
.
Passo 5
Vamos verificar se
é um ponto de máximo ou mínimo. Para isso, analisamos o comportamento da derivada antes e depois de
:
- Quando
, : função está decrescendo. - Quando
, : função está crescendo.
Isso significa que em
, a função muda de decrescente para crescente, indicando que
é um ponto de mínimo local.
Para encontrar o valor mínimo, substituímos
na função:
Então, o mínimo local é
.
Passo 6
Agora vamos analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, precisamos da segunda derivada
.
Começamos com a primeira derivada:
Aplicando a regra do quociente novamente para encontrar
:
Simplificando o numerador:
Passo 7
Agora, analisamos o sinal de
:
O denominador
é sempre positivo.
Então, o sinal de
depende de
:
- Se
(ou seja, ), então : função é côncava para cima. - Se
(ou seja, ), então : função é côncava para baixo.
Quando
(ou seja,
), a concavidade muda, indicando pontos de inflexão.
Passo 8
Resumo dos intervalos:
-
Crescimento e Decrescimento:
- Crescente:
- Decrescente:
- Crescente:
-
Máximos e Mínimos:
- Mínimo local em
com valor - Não há máximo local
- Mínimo local em
-
Concavidade e Pontos de Inflexão:
- Côncava para cima:
- Côncava para baixo:
- Pontos de inflexão em
e
- Côncava para cima:
Resposta
A função
é decrescente para
e crescente para
, possui um mínimo local em
, é côncava para cima quando
e côncava para baixo quando
, com pontos de inflexão em
e
. O esboço do gráfico refletirá essas características.
Exercícios relacionados
Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .
(i) Encontre os intervalos nos quais
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
(iv) Esboce o gráfico de
(a)
(b)
(b)
Calcule o valor das as integrais a seguir.
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) ;
g)
h) ;
i) ;
j) ;
k) ;
l) .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.