Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com a função . O que a gente precisa fazer aqui envolve conceitos de cálculo, como derivadas, para analisar onde a função está aumentando ou diminuindo, encontrar máximos e mínimos, entender a concavidade e até esboçar o gráfico dela. Vamos precisar usar derivadas primeira e segunda para isso. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, a gente precisa encontrar a primeira derivada de , que nos diz a taxa de variação da função.
A derivada de usando a regra do quociente é:
Simplificando o numerador:

Passo 3

Agora que temos , vamos ver onde essa derivada é positiva ou negativa. Isso nos dirá onde a função está aumentando ou diminuindo.
O denominador é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo e nunca é zero.
Então, o sinal de depende apenas do numerador, que é .
  • Se (ou seja, ), então : função está crescente.
  • Se (ou seja, ), então : função está decrescente.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é zero ou não existe, porque esses pontos podem ser candidatos a máximos ou mínimos locais.
A derivada será zero quando o numerador for zero:
Como o denominador nunca é zero, a única vez que a derivada é zero é em .

Passo 5

Vamos verificar se é um ponto de máximo ou mínimo. Para isso, analisamos o comportamento da derivada antes e depois de :
  • Quando , : função está decrescendo.
  • Quando , : função está crescendo.
Isso significa que em , a função muda de decrescente para crescente, indicando que é um ponto de mínimo local.
Para encontrar o valor mínimo, substituímos na função:
Então, o mínimo local é .

Passo 6

Agora vamos analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, precisamos da segunda derivada .
Começamos com a primeira derivada:
Aplicando a regra do quociente novamente para encontrar :
Simplificando o numerador:

Passo 7

Agora, analisamos o sinal de :
O denominador é sempre positivo.
Então, o sinal de depende de :
  • Se (ou seja, ), então : função é côncava para cima.
  • Se (ou seja, ), então : função é côncava para baixo.
Quando (ou seja, ), a concavidade muda, indicando pontos de inflexão.

Passo 8

Resumo dos intervalos:
  1. Crescimento e Decrescimento:
    • Crescente:
    • Decrescente:
  2. Máximos e Mínimos:
    • Mínimo local em com valor
    • Não há máximo local
  3. Concavidade e Pontos de Inflexão:
    • Côncava para cima:
    • Côncava para baixo:
    • Pontos de inflexão em e

Resposta

A função é decrescente para e crescente para , possui um mínimo local em , é côncava para cima quando e côncava para baixo quando , com pontos de inflexão em e . O esboço do gráfico refletirá essas características.

Exercícios relacionados

Em cada função:
(i) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais de .
(iii) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de .
(iv) Esboce o gráfico de .
(a)
(b)
Calcule o valor das as integrais a seguir.
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e)
f) ;
g)
h) ;
i) ;
j) ;
k) ;
l) .
Calcule as integrais abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.