Em cada item determine o valor de delta que satisfaz a relação 0 < |x - a| < delta => |f(x) - L| < epsilon dados: f(x) = x^2 + 2x + 1, a = 0, L = 1 e epsilon = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos um valor de delta que satisfaz a relação para a função . Isso está relacionado ao conceito de limite em cálculo, onde queremos garantir que, se x está perto de a = 0, então f(x) está perto de L=1. Vamos precisar usar essa definição para encontrar o delta apropriado.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os valores que já conhecemos na desigualdade: se torna . E com nossa função f(x) fica . Então, queremos que .

Passo 3

Agora, vamos trabalhar com a desigualdade . Podemos fatorar essa expressão para facilitar: . Para resolver isso, vamos tentar encontrar uma condição mais simples para x que nos ajude a garantir que essa desigualdade seja verdadeira.

Passo 4

Vamos supor que . Isso significa que x está no intervalo entre -1 e 1. Se , então será no máximo , já que e . Portanto, .

Passo 5

Com essa informação, podemos estimar a desigualdade original: . Queremos que isso seja menor que 1, então temos , o que leva a .

Passo 6

Agora, para garantir que ambas as condições sejam satisfeitas ( e ), escolhemos o menor valor entre elas. Isso significa que devemos escolher .

Resposta

Portanto, o valor de delta que satisfaz a relação dada é .

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