integralc x d x+y d y+(x z-y) d z, onde o caminho a ser percorrido tem início em (0,0,0) e término em ( 1,2,4 ), correspondendo ao segmento da reta que esses pontos definem.
Obs.: A reta no espaço
Se P1=(x1, y1, z1) e P2=(x2, y2, z2) são pontos distintos,
l x=x1+t(x2-x1) y=y1+t(y2-y1) z=z1+t(z2-z1)
são as equações paramétricas da reta que passa por esses dois pontos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral de linha , onde o caminho vai de até seguindo um segmento de reta. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrize a reta, substituir na integral e calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta que vai de x = 0 + t(1 - 0) = t y = 0 + t(2 - 0) = 2t z = 0 + t(4 - 0) = 4t até . Usando as equações paramétricas:
onde varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de dxdt = 1, dydt = 2, dzdt = 4 , e em relação a :
Essas derivadas representam os componentes do vetor tangente à curva.

Passo 4

Substituímos as parametrizações na função vetorial da integral:
F(x, y, z) = (x, y, xz - y) Rightarrow F(t) = ( t, 2t, t cdot 4t - 2t ) = ( t, 2t, 4t^2 - 2t )

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar de F(t) cdot drdt = t cdot 1 + 2t cdot 2 + (4t^2 - 2t) cdot 4 = t + 4t + 16t^2 - 8t = 16t^2 - 3t com o vetor derivada :

Passo 6

Finalmente, integramos a expressão resultante em integral0^1 (16t^2 - 3t) , dt = [ 163t^3 - 32t^2 ]0^1 = ( 163 - 32 ) - 0 = 326 - 96 = 236 de 0 a 1:

Resposta

O valor da integral de linha é .

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