Uma caixa d’agua, cuja capacidade é 5000 litros, tem uma torneira no fundo que, quando aberta, escoa água a uma vazão constante. Se a caixa está cheia e a torneira é aberta, depois de t horas o volume de água na caixa é dado por V(t) = 5000 - kt, k constante. Certo dia, estando a caixa cheia, a torneira foi aberta às 10 horas. Às 18 horas do mesmo dia, observou-se que a caixa continha 2000 litros de água. Assim, pode-se afirmar corretamente que o volume de água na caixa era 2750 litros, exatamente, às

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma caixa d’água com capacidade de 5000 litros e uma torneira no fundo que, quando aberta, deixa a água escoar a uma taxa constante. A função que descreve o volume de água na caixa após $ t $ horas é $ V(t) = 5000 - kt $, onde $ k $ é uma constante.
Sabemos que às 10 horas a caixa estava cheia. Quando a torneira foi aberta, às 18 horas (isto é, 8 horas depois), o volume de água na caixa era de 2000 litros. Queremos descobrir a que horas exatamente o volume da água na caixa era de 2750 litros.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o valor da constante $ k k ó t = 8 $), o volume é de 2000 litros. Substituindo esses valores na equação:
t = 8

Passo 3

Agora, vamos resolver para $ k $:
k
Subtraindo 5000 de ambos os lados:
2000 = 5000 - 8k
2000 - 5000 = -8k
Dividindo ambos os lados por -8:
-3000 = -8k

Passo 4

Com o valor de $ k $ encontrado, podemos reescrever a função do volume de água:
k
Queremos saber em quanto tempo $ t $ o volume $ V(t) $ foi de 2750 litros. Então, substituímos na equação:
V(t) = 5000 - 375t

Passo 5

Vamos resolver para $ t $:
t
Subtraindo 5000 de ambos os lados:
2750 = 5000 - 375t
2750 - 5000 = -375t
Dividindo ambos os lados por -375:
-2250 = -375t

Resposta

O volume da água na caixa era de 2750 litros exatamente 6 horas após as 10 horas, ou seja, às 16 horas.

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