No caixa de uma loja havia somente cédulas de 50 e 20 reais, totalizando R$ 590,00. Após receber o pagamento, integralmente em dinheiro, de uma venda de R$ 940,00, o comerciante da loja notou que a quantidade inicial de cédulas de 50 reais triplicara, e a quantidade inicial de cédulas de 20 reais duplicara, sem que houvesse notas ou moedas de outros valores. Dessa forma, a quantidade total de cédulas disponíveis inicialmente no caixa da loja era igual a:
a) 16
b) 22
c) 25
d) 19
e) 13
a) 16
b) 22
c) 25
d) 19
e) 13
Passo 1
Resumo da questão: Temos um caixa de loja que inicialmente possui apenas cédulas de R$ 50 e R$ 20, totalizando R$ 590,00. Após receber um pagamento de R$ 940,00 totalmente em dinheiro, o comerciante percebeu que a quantidade inicial de cédulas de R$ 50 triplicou e a de R$ 20 dobrou, sem usar outras denominações. Precisamos descobrir qual era a quantidade total de cédulas inicialmente no caixa.
Conteúdo da matéria: Para resolver esse problema, vamos usar sistemas de equações lineares, que nos permitem encontrar valores desconhecidos a partir de relações entre eles.
Passo 2
Vamos chamar de $ x $ o número inicial de cédulas de R$ 50 e de $ y $ o número inicial de cédulas de R$ 20.
Sabemos que o valor total inicial no caixa é R$ 590,00. Podemos expressar isso com a seguinte equação:
Passo 3
Após receber o pagamento de R$ 940,00, o comerciante observa que:
- A quantidade de cédulas de R$ 50 triplicou, ou seja, passou a ser $ 3x $.
- A quantidade de cédulas de R$ 20 dobrou, ou seja, passou a ser $ 2y $.
O valor total no caixa após o pagamento é a soma do valor inicial mais o valor recebido:
Podemos expressar isso com outra equação:
Simplificando:
Passo 4
Agora temos o seguinte sistema de equações:
Para facilitar a resolução, vamos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 10:
Passo 5
Vamos resolver o sistema usando o método de substituição ou eliminação. Vamos multiplicar a primeira equação por 3 para facilitar a eliminação:
Agora, temos:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Resolvendo para $ y $:
Passo 6
Agora que temos o valor de $ y $, podemos substituir na primeira equação para encontrar $ x $:
Passo 7
Agora, sabemos que inicialmente havia:
- $ x = 7 $ cédulas de R$ 50
- $ y = 12 $ cédulas de R$ 20
Portanto, o total de cédulas inicialmente no caixa era:
Resposta
A quantidade total de cédulas disponíveis inicialmente no caixa da loja era igual a 19.