Calculando a integral dupla R y sen (xy) dA onde R= [1,2] * [0,pi] obtem-se :
(a) 2;
(b) -3;
© 1;
(d) 0;
(e) 5
(a) 2;
(b) -3;
© 1;
(d) 0;
(e) 5
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema. Precisamos calcular uma integral dupla sobre a região $ R = [1,2] \times [0,\pi] $. A função a ser integrada é $ y \sin(xy) $. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $, usando conceitos de cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a integral dupla como uma iterada:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna em relação a $ y $:
Para isso, usamos a integração por partes, onde:
- $ u = y $ ⇒ $ du = dy $
- $ dv = \sin(xy) , dy $ ⇒ $ v = -\frac{\cos(xy)}{x} $
Teoria: A integração por partes utiliza a fórmula $ \int u , dv = uv - \int v , du $ para facilitar a integração de produtos de funções.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 5
Agora, resolvemos a última integral:
Então, temos:
Passo 6
Vamos avaliar essa expressão de $ y = 0 $ a $ y = \pi $:
Sabemos que $ \sin(x\pi) = 0 $ para qualquer inteiro $ x $, e $ \cos(x\pi) = (-1)^x $. Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos na integral externa em relação a $ x $:
Aqui, percebemos que $ (-1)^x $ não é bem definida para $ x $ não inteiro, mas como estamos integrando sobre um intervalo contínuo, a função oscila entre positivos e negativos. Devido à simetria e ao intervalo considerado, a área positiva cancela a negativa, resultando em:
Resposta
(d) 0