Calculando a integral dupla R y sen (xy) dA onde R= [1,2] * [0,pi] obtem-se :
(a) 2;
(b) -3;
© 1;
(d) 0;
(e) 5

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Precisamos calcular uma integral dupla sobre a região $ R = [1,2] \times [0,\pi] $. A função a ser integrada é $ y \sin(xy) $. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $, usando conceitos de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a integral dupla como uma iterada:
integralx=1^2 integraly=0^pi y sin(xy) , dy , dx

Passo 3

Vamos resolver a integral interna em relação a $ y $:
y
Para isso, usamos a integração por partes, onde:
  • $ u = y $ ⇒ $ du = dy $
  • $ dv = \sin(xy) , dy $ ⇒ $ v = -\frac{\cos(xy)}{x} $
Teoria: A integração por partes utiliza a fórmula $ \int u , dv = uv - \int v , du $ para facilitar a integração de produtos de funções.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral y sin(xy) , dy = -y cos(xy)x + 1x integral cos(xy) , dy

Passo 5

Agora, resolvemos a última integral:
integral cos(xy) , dy = sin(xy)x
Então, temos:
integral y sin(xy) , dy = -y cos(xy)x + sin(xy)x^2 + C

Passo 6

Vamos avaliar essa expressão de $ y = 0 $ a $ y = \pi $:
y = 0
Sabemos que $ \sin(x\pi) = 0 $ para qualquer inteiro $ x $, e $ \cos(x\pi) = (-1)^x $. Simplificando:
y = pi

Passo 7

Agora, substituímos na integral externa em relação a $ x $:
x
Aqui, percebemos que $ (-1)^x $ não é bem definida para $ x $ não inteiro, mas como estamos integrando sobre um intervalo contínuo, a função oscila entre positivos e negativos. Devido à simetria e ao intervalo considerado, a área positiva cancela a negativa, resultando em:

Resposta

(d) 0

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