Como calcular autovetores e autovalores matrizes 2x2?

Passo 1

Vamos ver como calcular autovalores e autovetores de matrizes 2x2. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores e saber montar e resolver polinômios característicos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que são autovalores e autovetores. Dada uma matriz $ A $, um autovalor $ \lambda $ e um autovetor $ \mathbf{v} $ satisfazem a equação:
A
Isso significa que, quando a matriz $ A $ atua no vetor $ \mathbf{v} $, o resultado é o mesmo vetor $ \mathbf{v} $ apenas escalado por $ \lambda $.

Passo 3

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, $ I $ é a matriz identidade e $ \det $ representa o determinante.

Passo 4

Vamos considerar uma matriz genérica 2x2:
A = a & b c & d
Agora, montamos a matriz $ A - \lambda I $:
A - lambda I

Passo 5

Calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (a - lambda)(d - lambda) - bc
Simplificando:
lambda^2 - (a + d)lambda + (ad - bc) = 0
Essa é a equação quadrática que precisamos resolver para encontrar os autovalores $ \lambda $.

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática:
lambda = (a + d) pm raiz(a + d)^2 - 4(ad - bc)2
Esses valores de $ \lambda $ são os autovalores da matriz $ A $.

Passo 7

Após encontrar os autovalores, para cada $ \lambda $, encontramos o autovetor correspondente resolvendo a equação:
lambda
Isso geralmente resulta em um sistema de equações lineares que podemos resolver para encontrar os componentes do vetor $ \mathbf{v} $.

Resposta

Seguindo esses passos, você consegue calcular os autovalores resolvendo a equação quadrática característica e, em seguida, encontrar os autovetores resolvendo o sistema linear para cada autovalor encontrado.

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