Como calcular autovetores e autovalores matrizes 2x2?
Passo 1
Vamos ver como calcular autovalores e autovetores de matrizes 2x2. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores e saber montar e resolver polinômios característicos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que são autovalores e autovetores. Dada uma matriz $ A $, um autovalor $ \lambda $ e um autovetor $ \mathbf{v} $ satisfazem a equação:
Isso significa que, quando a matriz $ A $ atua no vetor $ \mathbf{v} $, o resultado é o mesmo vetor $ \mathbf{v} $ apenas escalado por $ \lambda $.
Passo 3
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Aqui, $ I $ é a matriz identidade e $ \det $ representa o determinante.
Passo 4
Vamos considerar uma matriz genérica 2x2:
Agora, montamos a matriz $ A - \lambda I $:
Passo 5
Calcular o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Essa é a equação quadrática que precisamos resolver para encontrar os autovalores $ \lambda $.
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática:
Esses valores de $ \lambda $ são os autovalores da matriz $ A $.
Passo 7
Após encontrar os autovalores, para cada $ \lambda $, encontramos o autovetor correspondente resolvendo a equação:
Isso geralmente resulta em um sistema de equações lineares que podemos resolver para encontrar os componentes do vetor $ \mathbf{v} $.
Resposta
Seguindo esses passos, você consegue calcular os autovalores resolvendo a equação quadrática característica e, em seguida, encontrar os autovetores resolvendo o sistema linear para cada autovalor encontrado.