Calcular o gradiente dos campos escalares f(x y z)=3x2+4yz, no poonto indicado e na direção v=2i+j+2k em P(1,2,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem para calcular o gradiente do campo escalar $ f(x, y, z) = 3x^2 + 4yz $ no ponto $ P(1, 2, 3) $ e na direção do vetor $ \mathbf{v} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k} $. O gradiente está relacionado com as taxas de variação de $ f $ em cada direção, e vamos precisar de derivadas parciais e de vetores unitários para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente de $ f $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $. Matemáticamente, fica assim:
f

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Com relação a $ x $:
x
  1. Com relação a $ y $:
partial fpartial x = partialpartial x (3x^2 + 4yz) = 6x
  1. Com relação a $ z $:
y

Passo 4

Então, o gradiente de $ f $ é:
f

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto $ P(1, 2, 3) $. Substituindo $ x = 1 $, $ y = 2 $ e $ z = 3 $:
P(1, 2, 3)

Passo 6

Para encontrar a direção do vetor $ \mathbf{v} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k} $, precisamos primeiro normalizá-lo, ou seja, transformar $ \mathbf{v} $ em um vetor unitário. A fórmula para isso é:
v = 2i + j + 2k
Onde $ ||\mathbf{v}|| $ é o módulo de $ \mathbf{v} $:
v
Então, o vetor unitário $ \mathbf{u} $ é:
u = v||v||

Passo 7

Finalmente, para encontrar a taxa de variação direcional de $ f $ na direção de $ \mathbf{v} $, usamos o produto escalar entre o gradiente de $ f $ no ponto $ P $ e o vetor unitário $ \mathbf{u} $:
f
Calculando o produto escalar:
v

Resposta

A taxa de variação direcional de $ f $ no ponto $ P(1, 2, 3) $ na direção de $ \mathbf{v} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k} $ é $ \frac{40}{3} $.

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