Calcular o gradiente dos campos escalares f(x y z)=3x2+4yz, no poonto indicado e na direção v=2i+j+2k em P(1,2,3)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem para calcular o gradiente do campo escalar $ f(x, y, z) = 3x^2 + 4yz $ no ponto $ P(1, 2, 3) $ e na direção do vetor $ \mathbf{v} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k} $. O gradiente está relacionado com as taxas de variação de $ f $ em cada direção, e vamos precisar de derivadas parciais e de vetores unitários para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente de $ f $. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $. Matemáticamente, fica assim:
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Com relação a $ x $:
- Com relação a $ y $:
- Com relação a $ z $:
Passo 4
Então, o gradiente de $ f $ é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto $ P(1, 2, 3) $. Substituindo $ x = 1 $, $ y = 2 $ e $ z = 3 $:
Passo 6
Para encontrar a direção do vetor $ \mathbf{v} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k} $, precisamos primeiro normalizá-lo, ou seja, transformar $ \mathbf{v} $ em um vetor unitário. A fórmula para isso é:
Onde $ ||\mathbf{v}|| $ é o módulo de $ \mathbf{v} $:
Então, o vetor unitário $ \mathbf{u} $ é:
Passo 7
Finalmente, para encontrar a taxa de variação direcional de $ f $ na direção de $ \mathbf{v} $, usamos o produto escalar entre o gradiente de $ f $ no ponto $ P $ e o vetor unitário $ \mathbf{u} $:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação direcional de $ f $ no ponto $ P(1, 2, 3) $ na direção de $ \mathbf{v} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k} $ é $ \frac{40}{3} $.