Calcular o gradiente dos campos escalares: f(x, y, z) = 2x ^ 3 yz z ^ 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o gradiente de um campo escalar dado pela função $ f(x, y, z) = 2x^3 yz z^2 $. O gradiente é uma ferramenta que nos mostra a direção e a taxa de variação mais rápida de uma função. Para isso, vamos precisar entender como derivar a função em relação a cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A função é $ f(x, y, z) = 2x^3 yz z^2 $. Observando bem, temos $ yz z^2 $, que é o mesmo que $ y z^3 $. Então, podemos reescrever a função como:
f(x, y, z) = 2x^3 yz z^2

Passo 3

Agora, para encontrar o gradiente de $ f $, precisamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada variável: $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 4

Vamos começar calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que é denotada por $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
f
Aqui, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes. A derivada de $ x^3 $ em relação a $ x $ é $ 3x^2 $, então:
x

Passo 5

Em seguida, calculamos a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, denotada por $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
f
Agora, tratamos $ x $ e $ z $ como constantes. A derivada de $ y $ em relação a $ y $ é $ 1 $, então:
y

Passo 6

Por último, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ z $, denotada por $ \frac{\partial f}{\partial z} $.
f
Aqui, $ x $ e $ y $ são constantes. A derivada de $ z^3 $ em relação a $ z $ é $ 3z^2 $, então:
z

Resposta

Então, o gradiente de $ f(x, y, z) = 2x^3 y z^3 $ é:
f(x, y, z) = 2x^3 y z^3

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