Como calcular a integral de x^3 cos(x^2) dx? resposta: 1/2 (x^2 sen(x^2) + cos (x^2)) + C

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de $ x^3 \cos(x^2) , dx $. Vamos trabalhar com o conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente, vamos usar o método de substituição (também conhecido como troca de variável) para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, identificamos se podemos simplificar a integral usando uma substituição. Observamos que temos $ x^3 $ multiplicando $ \cos(x^2) $. Vamos tentar encontrar uma função $ u $ cuja derivada apareça na integral.

Passo 3

Vamos escolher $ u = x^2 $. Agora, precisamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u = x^2

Passo 4

Nossa integral original é $ \int x^3 \cos(x^2) , dx $. Podemos reescrever $ x^3 $ como $ x \cdot x^2 $, ou seja:
integral x^3 cos(x^2) , dx
Mas, sabemos que $ du = 2x , dx $, então:
x^3

Passo 5

Substituindo na integral:
integral x^3 cos(x^2) , dx = integral u cos(u) cdot du2 = 12 integral u cos(u) , du

Passo 6

Agora, precisamos calcular $ \int u \cos(u) , du $. Para isso, usamos o método de integração por partes, que é dado por:
integral u cos(u) , du
Vamos escolher:
  • $ u = u $ (aqui, $ u $ é a função que escolhemos antes)
  • $ dv = \cos(u) , du $
Então, precisamos encontrar $ du $ e $ v $:
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u cos(u) , du = u sin(u) - integral sin(u) , du
Calculando a integral restante:
integral sin(u) , du = -cos(u)
Portanto:
integral u cos(u) , du = u sin(u) + cos(u) + C

Passo 8

Voltando à nossa substituição anterior:
integral x^3 cos(x^2) , dx = 12 ( u sin(u) + cos(u) ) + C
Lembrando que $ u = x^2 $, substituímos de volta:
u = x^2

Resposta

A integral de $ x^3 \cos(x^2) , dx $ é:
x^3 cos(x^2) , dx

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