Como calcular a integral de x^3 cos(x^2) dx? resposta: 1/2 (x^2 sen(x^2) + cos (x^2)) + C
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de $ x^3 \cos(x^2) , dx $. Vamos trabalhar com o conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente, vamos usar o método de substituição (também conhecido como troca de variável) para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, identificamos se podemos simplificar a integral usando uma substituição. Observamos que temos $ x^3 $ multiplicando $ \cos(x^2) $. Vamos tentar encontrar uma função $ u $ cuja derivada apareça na integral.
Passo 3
Vamos escolher $ u = x^2 $. Agora, precisamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Passo 4
Nossa integral original é $ \int x^3 \cos(x^2) , dx $. Podemos reescrever $ x^3 $ como $ x \cdot x^2 $, ou seja:
Mas, sabemos que $ du = 2x , dx $, então:
Passo 5
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, precisamos calcular $ \int u \cos(u) , du $. Para isso, usamos o método de integração por partes, que é dado por:
Vamos escolher:
- $ u = u $ (aqui, $ u $ é a função que escolhemos antes)
- $ dv = \cos(u) , du $
Então, precisamos encontrar $ du $ e $ v $:
Passo 7
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Calculando a integral restante:
Portanto:
Passo 8
Voltando à nossa substituição anterior:
Lembrando que $ u = x^2 $, substituímos de volta:
Resposta
A integral de $ x^3 \cos(x^2) , dx $ é: