Calcule a aceleração devido à gravidade dentro da Terra como uma função da distância radial do centro do planeta. Assuma que a densidade do planeta varia como . (Dica: imagine que um poço de mina foi perfurado da superfície ao centro da Terra e um objeto de massa foi jogado no poço para alguma posição radial
do centro, onde é o raio da Terra. Qual é a soma vetorial das forças exercidas sobre o objeto por toda a massa da Terra que se encontra a qualquer distância do centro? E para do centro?)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a aceleração da gravidade dentro da Terra, dependendo da distância radial do centro. A Terra tem uma densidade que varia conforme . Para resolver isso, vamos usar conceitos de gravitação, como a Lei da Gravitação Universal e o Teorema das Camadas, que nos ajuda a entender como a massa contribui para a força gravitacional em diferentes camadas dentro de um corpo esférico.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a massa está distribuída dentro da Terra. A densidade varia com , então podemos expressar isso como:
Onde é uma constante de proporcionalidade. Nosso objetivo é encontrar a aceleração gravitacional em função de .

Passo 3

Vamos usar o Teorema das Camadas, que diz que, para uma esfera com simetria esférica, a força gravitacional em um ponto interno devido a uma casca esférica de massa é nula se a casca estiver a uma distância maior que . Ou seja, só precisamos considerar a massa que está dentro do raio para calcular a aceleração gravitacional naquele ponto.

Passo 4

Vamos calcular a massa total dentro de um raio . A massa de uma casca esférica de espessura é dada por:
Integrando de 0 até :

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei da Gravitação Universal de Newton para encontrar a aceleração :
Substituindo :
Interessante! Observamos que é constante e não depende de .

Passo 6

Para encontrar a constante , podemos considerar que na superfície da Terra ( ), a aceleração gravitacional é conhecida e igual a ². Então:

Passo 7

Substituindo na expressão de :
Isso mostra que, mesmo com a densidade variando como , a aceleração gravitacional dentro da Terra permanece constante e igual à aceleração na superfície.

Resposta

A aceleração da gravidade dentro da Terra, para qualquer distância radial do centro, é constante e igual à aceleração na superfície terrestre, ou seja:
²

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