Calcule a aceleração devido à gravidade dentro da Terra como uma função da distância radial
do centro do planeta. Assuma que a densidade do planeta varia como
. (Dica: imagine que um poço de mina foi perfurado da superfície ao centro da Terra e um objeto de massa
foi jogado no poço para alguma posição radial
do centro, onde
é o raio da Terra. Qual é a soma vetorial das forças exercidas sobre o objeto por toda a massa da Terra que se encontra a qualquer distância
do centro? E para
do centro?)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a aceleração da gravidade dentro da Terra, dependendo da distância radial
do centro. A Terra tem uma densidade que varia conforme
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de gravitação, como a Lei da Gravitação Universal e o Teorema das Camadas, que nos ajuda a entender como a massa contribui para a força gravitacional em diferentes camadas dentro de um corpo esférico.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a massa está distribuída dentro da Terra. A densidade
varia com
, então podemos expressar isso como:
Onde
é uma constante de proporcionalidade. Nosso objetivo é encontrar a aceleração gravitacional
em função de
.
Passo 3
Vamos usar o Teorema das Camadas, que diz que, para uma esfera com simetria esférica, a força gravitacional em um ponto interno devido a uma casca esférica de massa é nula se a casca estiver a uma distância maior que
. Ou seja, só precisamos considerar a massa que está dentro do raio
para calcular a aceleração gravitacional naquele ponto.
Passo 4
Vamos calcular a massa total
dentro de um raio
. A massa de uma casca esférica de espessura
é dada por:
Integrando de 0 até
:
Passo 5
Agora, aplicamos a Lei da Gravitação Universal de Newton para encontrar a aceleração
:
Substituindo
:
Interessante! Observamos que
é constante e não depende de
.
Passo 6
Para encontrar a constante
, podemos considerar que na superfície da Terra (
), a aceleração gravitacional é conhecida e igual a
. Então:
Passo 7
Substituindo
na expressão de
:
Isso mostra que, mesmo com a densidade variando como
, a aceleração gravitacional dentro da Terra permanece constante e igual à aceleração na superfície.
Resposta
A aceleração da gravidade dentro da Terra, para qualquer distância radial
do centro, é constante e igual à aceleração na superfície terrestre, ou seja: