Calcule a aceleração devido à gravidade dentro da Terra como uma função da distância radial
do centro do planeta. Assuma que a densidade do planeta varia como
. (Dica: imagine que um poço de mina foi perfurado da superfície ao centro da Terra e um objeto de massa
foi jogado no poço para alguma posição radial
do centro, onde
é o raio da Terra. Qual é a soma vetorial das forças exercidas sobre o objeto por toda a massa da Terra que se encontra a qualquer distância
do centro? E para
do centro?)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a aceleração da gravidade dentro da Terra, dependendo da distância radial
do centro. A Terra tem uma densidade que varia conforme
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de gravitação, como a Lei da Gravitação Universal e o Teorema das Camadas, que nos ajuda a entender como a massa contribui para a força gravitacional em diferentes camadas dentro de um corpo esférico.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a massa está distribuída dentro da Terra. A densidade
varia com
, então podemos expressar isso como:
Onde
é uma constante de proporcionalidade. Nosso objetivo é encontrar a aceleração gravitacional
em função de
.
Passo 3
Vamos usar o Teorema das Camadas, que diz que, para uma esfera com simetria esférica, a força gravitacional em um ponto interno devido a uma casca esférica de massa é nula se a casca estiver a uma distância maior que
. Ou seja, só precisamos considerar a massa que está dentro do raio
para calcular a aceleração gravitacional naquele ponto.
Passo 4
Vamos calcular a massa total
dentro de um raio
. A massa de uma casca esférica de espessura
é dada por:
Integrando de 0 até
:
Passo 5
Agora, aplicamos a Lei da Gravitação Universal de Newton para encontrar a aceleração
:
Substituindo
:
Interessante! Observamos que
é constante e não depende de
.
Passo 6
Para encontrar a constante
, podemos considerar que na superfície da Terra (
), a aceleração gravitacional é conhecida e igual a
. Então:
Passo 7
Substituindo
na expressão de
:
Isso mostra que, mesmo com a densidade variando como
, a aceleração gravitacional dentro da Terra permanece constante e igual à aceleração na superfície.
Resposta
A aceleração da gravidade dentro da Terra, para qualquer distância radial
do centro, é constante e igual à aceleração na superfície terrestre, ou seja:
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Numa reconstrução do experimento de Millikan, as gotas formadas atravessam um capacitor cuja distância entre as placas é de 1 cm e que está submetido a uma tensão
. Suponha que a densidade do óleo seja de
, que o diâmetro de uma gota seja de
e que esta gota esteja carregada com dois elétrons excedentes. Esboce o aparato indicando a direção do campo elétrico e das forças que agem na gota. Qual deve ser a tensão para que a gota carregada permaneça suspensa em repouso?
Resp.: 128 V
Resp.: 128 V
A principal conclusão do experimento de Millikan é:
(a) O elétron tem carga negativa.
(b) O elétron órbita ao redor do núcleo.
© Que o resultado de Thomson estava incorreto.
(d) A carga elementar do elétron é .
(a) O elétron tem carga negativa.
(b) O elétron órbita ao redor do núcleo.
© Que o resultado de Thomson estava incorreto.
(d) A carga elementar do elétron é
A atual estimativa da densidade do universo é de
, incluindo cerca de
de matéria escura, que é matéria que não podemos observar diretamente, e
de energia escura, outro constituinte que não é diretamente observável. Tanto a matéria escura quanto a energia escura contribuem com a gravidade, e portanto são incluídas neste valor da densidade. Compare este valor com o seu resultado e discuta que diferença faria se não houvesse matéria escura no universo.