Calcule a aceleração devido à gravidade dentro da Terra como uma função da distância radial r do centro do planeta. Assuma que a densidade do planeta varia como 1 / r. (Dica: imagine que um poço de mina foi perfurado da superfície ao centro da Terra e um objeto de massa m foi jogado no poço para alguma posição radial
r do centro, onde RE é o raio da Terra. Qual é a soma vetorial das forças exercidas sobre o objeto por toda a massa da Terra que se encontra a qualquer distância d>r do centro? E para d do centro?)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a aceleração da gravidade dentro da Terra, dependendo da distância radial r do centro. A Terra tem uma densidade que varia conforme 1/r. Para resolver isso, vamos usar conceitos de gravitação, como a Lei da Gravitação Universal e o Teorema das Camadas, que nos ajuda a entender como a massa contribui para a força gravitacional em diferentes camadas dentro de um corpo esférico.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a massa está distribuída dentro da Terra. A densidade rho varia com 1/r, então podemos expressar isso como:
rho(r) = kr
Onde k é uma constante de proporcionalidade. Nosso objetivo é encontrar a aceleração gravitacional g(r) em função de r.

Passo 3

Vamos usar o Teorema das Camadas, que diz que, para uma esfera com simetria esférica, a força gravitacional em um ponto interno devido a uma casca esférica de massa é nula se a casca estiver a uma distância maior que r. Ou seja, só precisamos considerar a massa que está dentro do raio r para calcular a aceleração gravitacional naquele ponto.

Passo 4

Vamos calcular a massa total M(r) dentro de um raio r. A massa de uma casca esférica de espessura dr é dada por:
dM = rho(r) cdot 4pi r^2 dr = kr cdot 4pi r^2 dr = 4pi k r dr
Integrando de 0 até r:
M(r) = integral0^r 4pi k r' dr' = 4pi k [r'^22]0^r = 2pi k r^2

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei da Gravitação Universal de Newton para encontrar a aceleração g(r):
g(r) = G M(r)r^2
Substituindo M(r):
g(r) = G cdot 2pi k r^2r^2 = 2pi G k
Interessante! Observamos que g(r) é constante e não depende de r.

Passo 6

Para encontrar a constante k, podemos considerar que na superfície da Terra ( r = RE), a aceleração gravitacional é conhecida e igual a g = 9,8 , m/s²². Então:
g = 2pi G k k = g2pi G

Passo 7

Substituindo k na expressão de g(r):
g(r) = 2pi G cdot g2pi G = g
Isso mostra que, mesmo com a densidade variando como 1/r, a aceleração gravitacional dentro da Terra permanece constante e igual à aceleração na superfície.

Resposta

A aceleração da gravidade dentro da Terra, para qualquer distância radial r do centro, é constante e igual à aceleração na superfície terrestre, ou seja:
g(r) = g = 9,8 , m/s² ²

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