Calcule a área da região elíptica E = {(x, y) in R^2 ; (x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) <= 1}, sendo a, b > 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a área de uma região elíptica definida por , onde e são números positivos. Isso está relacionado à geometria analítica, mais especificamente ao estudo de elipses. Para resolver isso, vamos precisar saber a fórmula da área de uma elipse e entender como aplicá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma elipse é uma forma geométrica que parece um círculo esticado ou comprimido em uma direção. Os parâmetros e representam os semi-eixos da elipse. Ou seja, é a distância do centro até o ponto mais largo na direção x, e é a distância do centro até o ponto mais alto na direção y.

Passo 3

A fórmula para a área de uma elipse é bem simples:
Á
Essa fórmula basicamente multiplica o valor de pelo produto dos dois semi-eixos. É semelhante à fórmula da área do círculo , mas adaptada para as duas direções diferentes da elipse.

Passo 4

Então, aplicando essa fórmula ao nosso caso, onde temos os valores e , basta substituir esses valores na fórmula para encontrar a área desejada.

Passo 5

Portanto, a área da região elíptica é:
Á

Resposta

A área da região elíptica é .

Exercícios relacionados