Calcule cada uma das sentenças a seguir com base nos dados apresentados.
  • n(A)=19;
  • n(B)=12;
  • n(C)=17;
  • n(A cap B)=3;
  • n(A cap C)=5
  • n(B cap C)=7; e
  • n(A cup B cup C)=5
    Se o número de pessoas pesquisadas foi U=40, calcule:
    c) n[U-(A cap B cap C)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema que envolve conjuntos e a contagem de elementos neles. A gente tem três conjuntos: A, B e C, com seus respectivos números de elementos. Além disso, sabemos quantas pessoas não estão em nenhum desses conjuntos. Para resolver a parte c, precisamos descobrir quantas pessoas estão no universo $ U $ menos aquelas que estão na interseção dos três conjuntos $ A \cap B \cap C $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ n[U - (A \cap B \cap C)] $. Isso quer dizer o número de pessoas que estão no universo total $ U $ mas não estão nas três interseções ao mesmo tempo. Ou seja, queremos saber quantas pessoas não estão nos três conjuntos juntos.

Passo 3

Sabemos que o total de pessoas pesquisadas é $ U = 40 $ e que $ n(\overline{A \cup B \cup C}) = 5 $. Esse último valor representa as pessoas que não estão em nenhum dos conjuntos A, B ou C. Então, já temos 5 pessoas fora de todos.

Passo 4

Agora, para encontrar $ n(A \cap B \cap C) $, vamos usar a fórmula da inclusão-exclusão para três conjuntos:
n(A cap B cap C)
Vamos resolver essa equação para encontrar $ n(A \cap B \cap C) $.

Passo 5

Substituindo os valores que temos na fórmula:
n(A cup B cup C) = 19 + 12 + 17 - 3 - 5 - 7 + n(A cap B cap C)
Calculando:
n(A cup B cup C) = 48 - 15 + n(A cap B cap C) = 33 + n(A cap B cap C)

Passo 6

Sabemos que $ n(\overline{A \cup B \cup C}) = 5 $, então:
n(A cup B cup C) = 5
Simplificando:
n(U) = n(A cup B cup C) + n(A cup B cup C) Rightarrow 40 = 33 + n(A cap B cap C) + 5

Passo 7

Agora que sabemos que $ n(A \cap B \cap C) = 2 $, podemos calcular $ n[U - (A \cap B \cap C)] $:
n(A cap B cap C) = 2

Resposta

O número de pessoas é 38.

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