Calcule cada uma das sentenças a seguir com base nos dados apresentados.
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Se o número de pessoas pesquisadas foi U=40, calcule:
c) n[U-(A cap B cap C)]
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema que envolve conjuntos e a contagem de elementos neles. A gente tem três conjuntos: A, B e C, com seus respectivos números de elementos. Além disso, sabemos quantas pessoas não estão em nenhum desses conjuntos. Para resolver a parte c, precisamos descobrir quantas pessoas estão no universo $ U $ menos aquelas que estão na interseção dos três conjuntos $ A \cap B \cap C $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ n[U - (A \cap B \cap C)] $. Isso quer dizer o número de pessoas que estão no universo total $ U $ mas não estão nas três interseções ao mesmo tempo. Ou seja, queremos saber quantas pessoas não estão nos três conjuntos juntos.
Passo 3
Sabemos que o total de pessoas pesquisadas é $ U = 40 $ e que $ n(\overline{A \cup B \cup C}) = 5 $. Esse último valor representa as pessoas que não estão em nenhum dos conjuntos A, B ou C. Então, já temos 5 pessoas fora de todos.
Passo 4
Agora, para encontrar $ n(A \cap B \cap C) $, vamos usar a fórmula da inclusão-exclusão para três conjuntos:
n(A cap B cap C)
Vamos resolver essa equação para encontrar $ n(A \cap B \cap C) $.
Passo 5
Substituindo os valores que temos na fórmula:
n(A cup B cup C) = 19 + 12 + 17 - 3 - 5 - 7 + n(A cap B cap C)
Calculando:
n(A cup B cup C) = 48 - 15 + n(A cap B cap C) = 33 + n(A cap B cap C)
Passo 6
Sabemos que $ n(\overline{A \cup B \cup C}) = 5 $, então:
n(A cup B cup C) = 5
Simplificando:
n(U) = n(A cup B cup C) + n(A cup B cup C) Rightarrow 40 = 33 + n(A cap B cap C) + 5
Passo 7
Agora que sabemos que $ n(A \cap B \cap C) = 2 $, podemos calcular $ n[U - (A \cap B \cap C)] $: