Calcule cada uma das sentenças a seguir com base nos dados apresentados.
  • n(A)=19;
  • n(B)=12;
  • n(C)=17;
  • n(A cap B)=3;
  • n(A cap C)=5
  • n(B cap C)=7; e
  • n(A cup B cup C)=5
    Se o número de pessoas pesquisadas foi U=40, calcule:
    b) n[(A cup B)-C]

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte b) do exercício. Aqui, a gente precisa calcular $ n[(A \cup B) - C] $. Isso significa que queremos saber quantas pessoas estão no conjunto $ A $ ou $ B $, mas não estão no conjunto $ C $. Vamos usar conceitos de conjuntos e operações como união e diferença para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é $ A \cup B $. A união de $ A $ e $ B $ inclui todas as pessoas que estão em $ A $, em $ B $ ou em ambos. A fórmula para a união de dois conjuntos é:
A cup B
Vamos substituir os valores que temos:
A
Então, $ n(A \cup B) = 28 $.

Passo 3

Agora, queremos saber quantas dessas 28 pessoas não estão em $ C $. Isso é representado por $ (A \cup B) - C $, que é a diferença entre $ A \cup B $ e $ C $. Para calcular isso, precisamos saber quantas pessoas estão tanto em $ A \cup B $ quanto em $ C $.

Passo 4

Vamos calcular $ n((A \cup B) \cap C) $. Isso representa as pessoas que estão em $ C $ e também em $ A $ ou $ B $.
Usamos a seguinte relação:
n((A cup B) cap C)
Mas, como não temos o valor de $ n(A \cap B \cap C) $, vamos usar outra abordagem. Sabemos que:
C
E pela fórmula de inclusão-exclusão para três conjuntos:
A
Substituindo os valores:
B
n((A cup B) cap C) = n(A cap C) + n(B cap C) - n(A cap B cap C)
n(A cap B cap C)
n(A cup B cup C) = n(U) - n(A cup B cup C) = 40 - 5 = 35
Agora, podemos calcular $ n((A \cup B) \cap C) $:
n(A cup B cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A cap B) - n(A cap C) - n(B cap C) + n(A cap B cap C)

Passo 5

Finalmente, para encontrar $ n[(A \cup B) - C] $, subtraímos as pessoas que estão em $ C $ das que estão em $ A \cup B $:
n[(A cup B) - C]

Resposta

O número de pessoas em $ (A \cup B) - C $ é 18.

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