Calcule cada uma das sentenças a seguir com base nos dados apresentados.
  • n(A)=19;
  • n(B)=12;
  • n(C)=17;
  • n(A cap B)=3;
  • n(A cap C)=5
  • n(B cap C)=7; e
  • n(A cup B cup C)=5
    Se o número de pessoas pesquisadas foi U=40, calcule:
    a) n(A cap B cap C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de teoria dos conjuntos! O enunciado nos dá os números de elementos em cada conjunto A, B e C, as interseções entre eles e até o complemento da união dos três conjuntos dentro de um universo $ U = 40 $ pessoas. Nosso objetivo aqui é descobrir quantas pessoas estão nos três conjuntos ao mesmo tempo, ou seja, calcular $ n(A \cap B \cap C) $.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da inclusão-exclusão para três conjuntos, que nos ajuda a encontrar o número de elementos na união desses conjuntos. A fórmula é:
n(A cup B cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A cap B) - n(A cap C) - n(B cap C) + n(A cap B cap C)
Essa fórmula basicamente soma todos os elementos dos conjuntos individuais, subtrai as interseções duplas para não contar duas vezes e adiciona a interseção tripla para ajustar a contagem.

Passo 3

Sabemos também que $ n(\overline{A \cup B \cup C}) = 5 $. Isso significa que há 5 pessoas que não pertencem a nenhum dos conjuntos A, B ou C. Como o universo total é 40, podemos encontrar $ n(A \cup B \cup C) $ assim:
n(A cup B cup C) = 5

Passo 4

Agora, substituímos todos os valores que temos na fórmula da inclusão-exclusão:
35 = 19 + 12 + 17 - 3 - 5 - 7 + n(A cap B cap C)
Vamos calcular passo a passo:
19 + 12 + 17 = 48
-3 - 5 - 7 = -15
48 - 15 = 33
Portanto:
35 = 33 + n(A cap B cap C)

Resposta

n(A cap B cap C) = 2

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