Calcule o comprimento de arco das curvas dadas por: x = 5 t^2 e y = 2 t^3, com 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco de uma curva definida pelas equações paramétricas e , onde varia de 0 a 1. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente do estudo de comprimentos de arcos de curvas paramétricas. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e em relação a . Isso é importante porque a fórmula do comprimento do arco depende dessas derivadas.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento do arco de uma curva parametrizada por e :
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos substituir as derivadas que encontramos na fórmula:
Agora, vamos simplificar dentro da raiz:
Então,

Passo 5

Vamos fatorar dentro da raiz para simplificar a integral:
Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja , então ou .
Quando , .
Quando , .
Substituindo na integral:
Integrando:
Simplificando:
Calculando os valores:
Então:

Resposta

O comprimento do arco da curva é aproximadamente unidades.

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