Calcule o comprimento de arco das curvas dadas por:
e
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco de uma curva definida pelas equações paramétricas
e
, onde
varia de 0 a 1. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente do estudo de comprimentos de arcos de curvas paramétricas. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
. Isso é importante porque a fórmula do comprimento do arco depende dessas derivadas.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento do arco
de uma curva parametrizada por
e
:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos substituir as derivadas que encontramos na fórmula:
Agora, vamos simplificar dentro da raiz:
Então,
Passo 5
Vamos fatorar
dentro da raiz para simplificar a integral:
Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
ou
.
Quando
,
.
Quando
,
.
Substituindo na integral:
Integrando:
Simplificando:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
O comprimento do arco da curva é aproximadamente
unidades.