Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação de um plano que passa por três pontos específicos: , e . Vamos resolver isso usando Geometria Analítica, que ajuda a descrever gráficos e formas no espaço usando coordenadas e equações. Para achar a equação do plano, vamos precisar encontrar um vetor normal ao plano e usar a equação geral do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano usando os pontos fornecidos. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos. Vamos considerar os pontos , e .
Calculando os vetores:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores e . Para isso, usamos o produto vetorial desses dois vetores:
Calculando o produto vetorial:
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 4
Com o vetor normal e um dos pontos pelo qual o plano passa, podemos usar a equação geral do plano:
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e é um ponto no plano. Vamos usar o ponto :
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa equação:
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para deixar a equação mais agradável:
Ou rearranjando:
Resposta
A equação do plano que passa pelos pontos 3, 4, 2, e é: