Calcule a convolução de
com
. Sendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a convolução de dois sinais discretos $ x[n] $ e $ h[n] $. O enunciado nos dá:
Aqui, $ u[n] $ é a função degrau unitário. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de convolução de sinais discretos, que é essencial para entender como dois sinais interagem entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são esses sinais $ x[n] $ e $ h[n] $. A função degrau unitário $ u[n] $ é igual a 1 para $ n \geq 0 $ e 0 para $ n < 0 $.
Então, $ x[n] = u[n-3] - u[n-9] $ significa que $ x[n] $ é 1 quando $ 3 \leq n < 9 $ e 0 caso contrário.
Da mesma forma, $ h[n] = u[n-4] - u[n-16] $ significa que $ h[n] $ é 1 quando $ 4 \leq n < 16 $ e 0 caso contrário.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a convolução $ y[n] = x[n] * h[n] $ para sinais discretos é definida pela soma:
Mas como $ x[n] $ e $ h[n] $ são sinais com duração finita, a soma só vai de $ k = 3 $ até $ k = 8 $ (porque $ x[k] = 1 $ nessa faixa) e $ h[n - k] = 1 $ quando $ 4 \leq n - k < 16 $.
Passo 4
Para calcular isso, vamos determinar quando ambos $ x[k] $ e $ h[n - k] $ são iguais a 1. Ou seja, precisamos que:
Vamos resolver a segunda inequação para $ k $:
Então, combinando com a primeira condição $ 3 \leq k < 9 $, temos que $ k $ deve estar no intervalo $ 4 \leq k < 9 $.
Passo 5
Agora, para cada valor de $ n $, vamos ver quantos valores de $ k $ satisfazem $ 4 \leq k < 9 $ e $ 3 \leq k < 9 $. Isso depende do valor de $ n $.
Vamos identificar os intervalos de $ n $ onde a convolução muda de comportamento:
- Quando $ 7 \leq n < 13 $: Nesse intervalo, o número de sobreposições aumenta linearmente.
- Quando $ 13 \leq n < 23 $: Aqui, o número de sobreposições começa a diminuir linearmente.
- Fora desses intervalos: A convolução é zero.
Passo 6
Calculando a quantidade de sobreposição em cada intervalo:
- Para $ 7 \leq n < 13 $:
- Para $ 13 \leq n < 23 $:
- Caso contrário:
Resposta
A convolução de $ x[n] $ com $ h[n] $ é dada por: