Determine se o sistema descrito por h[n]=(0.2)^n u[n] é causal e/ ou estável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema descrito por $ h[n] = (0.2)^{n} u[n] $. Nosso objetivo aqui é descobrir se esse sistema é causal e/ou estável. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre o que significa cada um desses termos na teoria de sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre causalidade. Um sistema é causal se a saída em qualquer tempo $ n $ depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, ou seja, $ h[n] = 0 $ para todo $ n < 0 $. Olhando para a nossa função $ h[n] = (0.2)^{n} u[n] $, o que é essa $ u[n] $? É a função degrau unitário, que vale 0 para $ n < 0 $ e 1 para $ n \geq 0 $.
Como $ u[n] = 0 $ quando $ n < 0 $, isso faz com que $ h[n] = 0 $ também para todo $ n < 0 $. Portanto, nosso sistema não depende de valores futuros da entrada, ou seja, ele é causal.

Passo 3

Agora, vamos verificar a estabilidade do sistema. Um sistema é estável no sentido de BIBO (Bounded Input, Bounded Output) se a soma das magnitudes de $ h[n] $ for finita, ou seja:
h[n]
No nosso caso, $ h[n] = (0.2)^{n} u[n] $. Como $ u[n] = 0 $ para $ n < 0 $, a soma fica:
sumn=-infty^infty |h[n]| < infty
Isso é uma série geométrica com razão $ r = 0.2 $, que é menor que 1. Sabemos que uma série geométrica converge quando $ |r| < 1 $, e sua soma é:
h[n] = (0.2)^n u[n]
Como a soma é finita, o sistema é estável.

Resposta

O sistema descrito por $ h[n] = (0.2)^{n} u[n] $ é causal e estável.

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