Calcule a densidade linear em íons por nanômetro nas direções [111] e [110] para o CeO2, que possui estrutura da fluorita. Os raios iônicos são Ce^4+=0,102 nm e O^2-=0,132 nm.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a densidade linear de íons por nanômetro nas direções [111] e [110] do CeO2, que tem estrutura de fluorita. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre estruturas cristalinas, especificamente a fluorita, e usar os raios iônicos fornecidos: Ce^4+ = 0,102 nm e O^2- = 0,132 nm.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar o parâmetro de rede da estrutura de fluorita para o CeO2. Na estrutura de fluorita, os íons de cério ( Ce^4+) formam uma rede cúbica de face centrada (FCC) e os íons de oxigênio ( O^2-) ocupam todos os sítios tetraédricos.
A relação entre o raio iônico dos cátiones ( rCe^4+) e dos ânions ( rO^2-) na estrutura de fluorita é dada por:
a = 2 times (rCe^4+ + 2 times rO^2-)
onde é o parâmetro de rede.

Passo 3

Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula:
a = 2 times (0,102 , nm + 2 times 0,132 , nm) = 2 times (0,102 + 0,264) = 2 times 0,366 = 0,732 , nm
Então, o parâmetro de rede é 0,732 nm.

Passo 4

Agora, vamos calcular a densidade linear na direção [111]. Na direção [111] de uma célula cúbica, a distância entre íons pode ser encontrada usando a relação:
d[111] = araiz3
Substituindo o valor de d[111] = 0,732 , nmraiz3 approx 0,732 div 1,732 approx 0,423 , nm :

Passo 5

A densidade linear D[111] = 4 , íons0,423 , nm approx 9,46 , íons/nm é o número de íons por nanômetro. Para a direção [111], cada réplica unitária contém 3 íons de oxigênio e 1 íon de cério por direção [111]. Portanto, temos 4 íons por 0,423 nm.
Então, a densidade linear na direção [111] é:
íí

Passo 6

Agora, vamos calcular a densidade linear na direção [110]. Para a direção [110] de uma célula cúbica, a distância entre íons é:
d[110] = araiz2
Substituindo o valor de d[110] = 0,732 , nmraiz2 approx 0,732 div 1,414 approx 0,517 , nm :

Passo 7

Na direção [110], cada réplica unitária contém 2 íons de oxigênio e 1 ��on de cério. Totalizando 3 íons por 0,517 nm.
Então, a densidade linear na direção [110] é:
D[110] = 3 , íons0,517 , nm approx 5,80 , íons/nm íí

Resposta

A densidade linear em íons por nanômetro para o CeO2 na estrutura de fluorita é aproximadamente 9,46 íons/nm na direção [111] e 5,80 íons/nm na direção [110].

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