Calcule a distribuição de cargas que produz o campo elétrico E(r)= 1r^2[1-cos (3 r)] r. Dica: aplicação da lei de Gauss no formato diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente achar a distribuição de cargas que gera o campo elétrico . A gente vai usar a Lei de Gauss na forma diferencial, que faz parte do estudo do eletromagnetismo. Vamos precisar entender como relacionar o campo elétrico com a densidade de carga usando essa lei.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Gauss na forma diferencial é dada por:
nabla cdot E = rhovarepsilon0
Aqui, é a divergência do campo elétrico e é a densidade de carga que queremos encontrar. Nosso objetivo é calcular essa divergência para o campo dado.

Passo 3

O campo elétrico que temos é radial, ou seja, aponta na direção do vetor posição nabla cdot E = 1r^2 ddr(r^2 Er) . Em coordenadas esféricas, a divergência de um campo radial Er(r) = 1r^2 [1 - cos(3r)] é:
Vamos identificar do nosso campo:

Passo 4

Agora, vamos calcular r^2 Er = 1 - cos(3r) :
ddr(1 - cos(3r)) = 3 sin(3r)
Em seguida, derivamos isso em relação a nabla cdot E = 1r^2 cdot 3 sin(3r) = 3 sin(3r)r^2 :
Portanto, a divergência fica:

Passo 5

Agora, usando a Lei de Gauss na forma diferencial, temos:
3 sin(3r)r^2 = rhovarepsilon0
Para encontrar rho = 3 varepsilon0 sin(3r)r^2 , é só multiplicar ambos os lados por :

Resposta

A distribuição de cargas que produz o campo elétrico dado é:
rho(r) = 3, varepsilon0 sin(3r)r^2

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