Calcule a distribuição de cargas que produz o campo elétrico
. Dica: aplicação da lei de Gauss no formato diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente achar a distribuição de cargas que gera o campo elétrico
. A gente vai usar a Lei de Gauss na forma diferencial, que faz parte do estudo do eletromagnetismo. Vamos precisar entender como relacionar o campo elétrico com a densidade de carga usando essa lei.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Gauss na forma diferencial é dada por:
Aqui,
é a divergência do campo elétrico e
é a densidade de carga que queremos encontrar. Nosso objetivo é calcular essa divergência para o campo dado.
Passo 3
O campo elétrico que temos é radial, ou seja, aponta na direção do vetor posição
. Em coordenadas esféricas, a divergência de um campo radial
é:
Vamos identificar
do nosso campo:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Em seguida, derivamos isso em relação a
:
Portanto, a divergência fica:
Passo 5
Agora, usando a Lei de Gauss na forma diferencial, temos:
Para encontrar
, é só multiplicar ambos os lados por
:
Resposta
A distribuição de cargas que produz o campo elétrico dado é: