Calcule a distribuição de cargas que produz o campo elétrico . Dica: aplicação da lei de Gauss no formato diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente achar a distribuição de cargas que gera o campo elétrico . A gente vai usar a Lei de Gauss na forma diferencial, que faz parte do estudo do eletromagnetismo. Vamos precisar entender como relacionar o campo elétrico com a densidade de carga usando essa lei.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Gauss na forma diferencial é dada por:
Aqui, é a divergência do campo elétrico e é a densidade de carga que queremos encontrar. Nosso objetivo é calcular essa divergência para o campo dado.

Passo 3

O campo elétrico que temos é radial, ou seja, aponta na direção do vetor posição . Em coordenadas esféricas, a divergência de um campo radial é:
Vamos identificar do nosso campo:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Em seguida, derivamos isso em relação a :
Portanto, a divergência fica:

Passo 5

Agora, usando a Lei de Gauss na forma diferencial, temos:
Para encontrar , é só multiplicar ambos os lados por :

Resposta

A distribuição de cargas que produz o campo elétrico dado é:

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