Mostre, por meio do teorema da divergência, que a lei de Gauss pode ser escrita na forma
. Analisando o campo elétrico como um campo vetorial, o que significa extrair o divergente deste campo? Explique o comportamento campo elétrico quando
e
. Mostre também que o campo elétrico gerado por uma carga pontual estática é irrotacional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que usando o teorema da divergência, a lei de Gauss pode ser escrita como
. Além disso, precisamos entender o que significa calcular o divergente de um campo elétrico, o que acontece quando o divergente é positivo ou negativo, e mostrar que o campo elétrico de uma carga pontual está irrotacional. Vamos precisar dos conceitos de cálculo vetorial, especificamente divergente, rotacional, e do teorema da divergência aplicado à eletrostática.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss na forma integral:
Aqui,
representa a integral de superfície,
é o campo elétrico,
é um elemento de área da superfície
,
é a carga total dentro da superfície, e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o teorema da divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial à integral de volume do divergente desse campo:
Comparando com a forma integral da Lei de Gauss, temos:
Passo 4
Sabemos que a densidade de carga
é a carga por unidade de volume, então podemos escrever:
Substituindo na equação anterior:
Passo 5
Como essa equação vale para qualquer volume
, podemos igualar os integrandos:
Isso mostra que a Lei de Gauss pode ser expressa, usando o teorema da divergência, como
.
Passo 6
Agora, vamos entender o que significa calcular o divergente de um campo elétrico. O divergente em um ponto mede a “taxa de fluxo” do campo elétrico saindo desse ponto. Em outras palavras, indica se há uma “fonte” (fluxo saindo) ou “sumidouro” (fluxo entrando) no ponto analisado.
Passo 7
Quando
, significa que há uma fonte positiva no ponto: o campo elétrico está “saindo” desse ponto, indicando uma concentração de carga positiva.
Quando
, significa que há um sumidouro negativo: o campo elétrico está “entrando” nesse ponto, indicando uma concentração de carga negativa.
Passo 8
Para mostrar que o campo elétrico gerado por uma carga pontual está irrotacional, precisamos calcular o rotacional de
. O campo elétrico de uma carga pontual está dado por:
Onde
é a carga,
é a distância ao ponto da carga, e
é o vetor unitário radial.
Passo 9
Calculando o rotacional:
Para um campo radial como este, o rotacional é zero, porque não há componentes angulares do campo que varriam em torno do ponto. Portanto:
Isso mostra que o campo elétrico de uma carga pontual está irrotacional.
Resposta
Concluímos que, utilizando o teorema da divergência, a Lei de Gauss pode ser expressa como
. O divergente do campo elétrico indica a presença de fontes ou sumidouros de campo, com
representando fontes positivas e
representando sumidouros negativos. Além disso, demonstramos que o campo elétrico de uma carga pontual está irrotacional, ou seja,
.