Mostre, por meio do teorema da divergência, que a lei de Gauss pode ser escrita na forma nabla cdot E=rhoepsilon0. Analisando o campo elétrico como um campo vetorial, o que significa extrair o divergente deste campo? Explique o comportamento campo elétrico quando nabla cdot E>0 e nabla cdot E<0. Mostre também que o campo elétrico gerado por uma carga pontual estática é irrotacional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que usando o teorema da divergência, a lei de Gauss pode ser escrita como nabla cdot E = rhoepsilon0. Além disso, precisamos entender o que significa calcular o divergente de um campo elétrico, o que acontece quando o divergente é positivo ou negativo, e mostrar que o campo elétrico de uma carga pontual está irrotacional. Vamos precisar dos conceitos de cálculo vetorial, especificamente divergente, rotacional, e do teorema da divergência aplicado à eletrostática.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss na forma integral:
ointS E cdot dA = Qintepsilon0
Aqui, ointS representa a integral de superfície, E é o campo elétrico, dA é um elemento de área da superfície S, Qint é a carga total dentro da superfície, e epsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teorema da divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial à integral de volume do divergente desse campo:
ointS E cdot dA = integralV nabla cdot E , dV
Comparando com a forma integral da Lei de Gauss, temos:
integralV nabla cdot E , dV = Qintepsilon0

Passo 4

Sabemos que a densidade de carga rho é a carga por unidade de volume, então podemos escrever:
Qint = integralV rho , dV
Substituindo na equação anterior:
integralV nabla cdot E , dV = 1epsilon0 integralV rho , dV

Passo 5

Como essa equação vale para qualquer volume V, podemos igualar os integrandos:
nabla cdot E = rhoepsilon0
Isso mostra que a Lei de Gauss pode ser expressa, usando o teorema da divergência, como nabla cdot E = rhoepsilon0.

Passo 6

Agora, vamos entender o que significa calcular o divergente de um campo elétrico. O divergente em um ponto mede a “taxa de fluxo” do campo elétrico saindo desse ponto. Em outras palavras, indica se há uma “fonte” (fluxo saindo) ou “sumidouro” (fluxo entrando) no ponto analisado.

Passo 7

Quando nabla cdot E > 0, significa que há uma fonte positiva no ponto: o campo elétrico está “saindo” desse ponto, indicando uma concentração de carga positiva.
Quando nabla cdot E < 0, significa que há um sumidouro negativo: o campo elétrico está “entrando” nesse ponto, indicando uma concentração de carga negativa.

Passo 8

Para mostrar que o campo elétrico gerado por uma carga pontual está irrotacional, precisamos calcular o rotacional de E. O campo elétrico de uma carga pontual está dado por:
E = 14piepsilon0 qr^2 r
Onde q é a carga, r é a distância ao ponto da carga, e r é o vetor unitário radial.

Passo 9

Calculando o rotacional:
nabla times E = nabla times ( 14piepsilon0 qr^2 r )
Para um campo radial como este, o rotacional é zero, porque não há componentes angulares do campo que varriam em torno do ponto. Portanto:
nabla times E = 0
Isso mostra que o campo elétrico de uma carga pontual está irrotacional.

Resposta

Concluímos que, utilizando o teorema da divergência, a Lei de Gauss pode ser expressa como nabla cdot E = rhoepsilon0. O divergente do campo elétrico indica a presença de fontes ou sumidouros de campo, com nabla cdot E > 0 representando fontes positivas e nabla cdot E < 0 representando sumidouros negativos. Além disso, demonstramos que o campo elétrico de uma carga pontual está irrotacional, ou seja, nabla times E = 0.

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