Calcule dy dx da função x² (1+ y) = y² (x-1), por derivação implícita.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular
da função
usando derivação implícita. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas em funções onde y é uma função de x, mas está “misturada” com x na equação. Vamos precisar usar a derivação implícita e conhecer as regras básicas de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar a equação que temos:
Nosso objetivo é encontrar
, que representa a taxa de variação de y em relação a x.
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então sempre que derivarmos um termo com y, teremos que multiplicar pela
(essa é a aplicação da regra da cadeia).
Derivando o lado esquerdo:
Usamos a regra do produto, que diz que
:
Passo 4
Derivando o lado direito da equação:
Também usamos a regra do produto:
Passo 5
Agora, reunimos as derivadas dos dois lados:
Queremos isolar
. Vamos colocar todos os termos com
de um lado e os demais do outro:
Passo 6
Fatorando
no lado esquerdo:
Agora, isolamos
: