Calcule dy dx da função x² (1+ y) = y² (x-1), por derivação implícita.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular dydx da função x^2(1 + y) = y^2(x - 1) usando derivação implícita. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas em funções onde y é uma função de x, mas está “misturada” com x na equação. Vamos precisar usar a derivação implícita e conhecer as regras básicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a equação que temos:
x^2(1 + y) = y^2(x - 1)
Nosso objetivo é encontrar dydx, que representa a taxa de variação de y em relação a x.

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então sempre que derivarmos um termo com y, teremos que multiplicar pela dydx (essa é a aplicação da regra da cadeia).
Derivando o lado esquerdo:
ddx[x^2(1 + y)]
Usamos a regra do produto, que diz que ddx[u cdot v] = u' cdot v + u cdot v':
= ddx[x^2] cdot (1 + y) + x^2 cdot ddx[1 + y]
= 2x(1 + y) + x^2 cdot (0 + dydx)
= 2x(1 + y) + x^2 dydx

Passo 4

Derivando o lado direito da equação:
ddx[y^2(x - 1)]
Também usamos a regra do produto:
= ddx[y^2] cdot (x - 1) + y^2 cdot ddx[x - 1]
= 2y dydx(x - 1) + y^2(1 - 0)
= 2y(x - 1)dydx + y^2

Passo 5

Agora, reunimos as derivadas dos dois lados:
2x(1 + y) + x^2 dydx = 2y(x - 1)dydx + y^2
Queremos isolar dydx. Vamos colocar todos os termos com dydx de um lado e os demais do outro:
x^2 dydx - 2y(x - 1)dydx = y^2 - 2x(1 + y)

Passo 6

Fatorando dydx no lado esquerdo:
dydx (x^2 - 2y(x - 1)) = y^2 - 2x(1 + y)
Agora, isolamos dydx:
dydx = y^2 - 2x(1 + y)x^2 - 2y(x - 1)

Resposta

dydx = y^2 - 2x(1 + y)x^2 - 2y(x - 1)

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