Calcule a energia cinética de um rotor de helicóptero composto por um cilindro central de massa 60 kg e raio 50 cm, com quatro pás de 4 m de comprimento e massa 180 kg cada uma, que gira com uma frequência de 300 rpm. Dados: momento de inercia de um bastão girado pela extremidade I= 1/3ML²; momento de inercia de um cilindro girando em torno de seu eixo de simetria I= 1/2mr².
a. 2,110^6 J
b. 1,7
10^6 J
c. 1,510^6 J
d. 1,9
10^6 J
e. 1,3*10^6 J

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a energia cinética de um rotor de helicóptero. Esse rotor é formado por um cilindro central e quatro pás. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e energia cinética rotacional. Vamos precisar aplicar as fórmulas do momento de inércia para cilindros e bastões, além de converter unidades de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. É uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Quanto mais massa estiver longe do eixo, maior será o momento de inércia. Ele é crucial para calcular a energia cinética rotacional.

Passo 3

Vamos começar calculando o momento de inércia do cilindro central. A fórmula que vamos usar é:
Icilindro = 12 m r^2
Onde:
- $ m = 60 , kg $ (massa do cilindro)
- $ r = 0,5 , m $ (raio do cilindro)
Substituindo:
m = 60 , kg

Passo 4

Agora, vamos calcular o momento de inércia de uma única pá. Usamos a fórmula para um bastão girando pela extremidade:
Ipá = 13 M L^2 á
Onde:
- $ M = 180 , kg $ (massa de cada pá)
- $ L = 4 , m $ (comprimento da pá)
Substituindo:
M = 180 , kg á

Passo 5

Como são quatro pás, multiplicamos o momento de inércia de uma pá por 4:
Ipás total = 960 times 4 = 3840 , kg·m^2 á

Passo 6

O momento de inércia total do rotor é a soma do momento de inércia do cilindro com o das pás:
Itotal = Icilindro + Ipás total = 7,5 + 3840 = 3847,5 , kg·m^2 á

Passo 7

Agora, vamos calcular a energia cinética rotacional usando a fórmula:
KE = 12 I omega^2
Antes disso, precisamos converter a frequência de rotação de rpm para rad/s:
omega = 300 , rpm times 2pi60 = 10pi , rad/s
Substituindo na fórmula da energia cinética:
KE = 12 times 3847,5 times (10pi)^2
KE = 0,5 times 3847,5 times 100pi^2
KE approx 0,5 times 3847,5 times 986,96
KE approx 1.898.611 , J

Resposta

A energia cinética do rotor é aproximadamente 1,9 times 10^6 , J.
Alternativa d. 1,9*10^6 J

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