Calcule a energia para formação de vacâncias no Alumínio, sabendo que o número de vacâncias no equilíbrio a 500 ^circ C é 7,57 x 10 ^23 m^-3. O peso atômico e a densidade do Alumínio (nesta temperatura) são 26,98 g/mol e 2,62 g/cm ^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é calcular a energia para formação de vacâncias no Alumínio. Isso faz parte de materiais e física do estado sólido. Para resolver, vamos precisar usar informações sobre o número de vacâncias, a densidade do Alumínio, o peso atômico e a temperatura dada. Além disso, vamos usar algumas fórmulas relacionadas à termodinâmica das vacâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma vacância. Vacância é basicamente um “buraco” onde deveria estar um átomo na estrutura cristalina do metal. A energia para formar uma vacância é a energia necessária para criar esse “buraco”.

Passo 3

A relação entre o número de vacâncias ( nv = N exp(-EvkB T) ), o número total de sítios atômicos ( ), a energia de formação da vacância ( ), a constante de Boltzmann ( ) e a temperatura ( ) é dada por:
Nossa missão é isolar nessa equação.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o número total de sítios atômicos ( N = rho NAA ) por volume. A fórmula para isso é:
Onde:
  • é a densidade do Alumínio
  • é o número de Avogadro ( )
  • é o peso atômico do Alumínio

Passo 5

Vamos converter a densidade para unidades consistentes. Dado que a densidade ( 2,62 , g/cm^3 = 2620 , kg/m^3 ) é , vamos converter para :

Passo 6

Agora, calculamos N = 2620 , kg/m^3 times 6,022 times 10^23 , mol^-10,02698 , kg/mol approx 2620 times 6,022 times 10^230,02698 , m^-3 :
N approx 2620 times 6,022 times 10^230,02698 approx 1,577 times 10^270,02698 approx 5,847 times 10^28 , m^-3
Vamos fazer os cálculos:

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação para nv = N exp(-EvkB T) :
ln(nvN) = -EvkB T
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Ev = -kB T ln(nvN)
Isolando :

Passo 8

Vamos inserir os valores:
  • Ev = -1,381 times 10^-23 , J/K times 773 , K times ln(7,57 times 10^235,847 times 10^28)
Substituindo na fórmula:

Passo 9

Calculando o logaritmo:
ln(7,57 times 10^235,847 times 10^28) = ln(1,295 times 10^-5) approx -11,256

Passo 10

Agora, substituindo de volta:
Ev = -1,381 times 10^-23 times 773 times (-11,256) approx 1,381 times 10^-23 times 773 times 11,256
Calculando:
Ev approx 1,381 times 10^-23 times 773 times 11,256 approx 1,200 times 10^-19 , J
Para converter para eV (já que energia de vacância geralmente é expressa em eV):
1 , eV = 1,602 times 10^-19 , J
Ev approx 1,200 times 10^-191,602 times 10^-19 , eV approx 0,75 , eV

Resposta

A energia para formação de vacâncias no Alumínio é aproximadamente .

Exercícios relacionados