Calcule a energia de ligação por núcleon para as núcleos 2^4 He, 8^16 O, 26^56 Fe e 92^238 U. O que acontece com a energia de ligação por nucleon simula à medida que A aumenta? Considere: m( 2^4 He)=4,002602 u, m( 8^16 O)=15,994915 u, m( 26^56 Fe)=55,934942 u, m( 92^238 U)=238,050788 u, mp=1,007825 u, e mn=1,008665 u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a energia de ligação por nucleon para alguns núcleos específicos: 2^4 He, 8^16 O, 26^56 Fe e 92^238 U. Além disso, queremos entender como essa energia varia conforme o número total de nucleons $ A $ aumenta. Para isso, vamos precisar usar conceitos de massa nuclear, como o defeito de massa, e a famosa equação de Einstein $ E = \Delta m c^2 $. Vamos também utilizar as massas fornecidas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a energia de ligação por nucleon. Cada núcleo tem prótons e nêutrons (juntos chamados de nucleons). A energia de ligação é a energia necessária para manter o núcleo unido. Para encontrar essa energia, a gente calcula o defeito de massa, que é a diferença entre a massa dos prótons e nêutrons separados e a massa real do núcleo. Esse defeito de massa, quando multiplicado pela velocidade da luz ao quadrado ($ c^2 $), nos dá a energia de ligação total. Dividindo essa energia pelo número de nucleons $ A $, obtemos a energia de ligação por nucleon.

Passo 3

Vamos começar calculando a energia de ligação por nucleon para o hélio-4 ( 2^4 He).
Primeiro, identificamos o número de prótons $ Z = 2 $ e o número de nêutrons $ N = 2 $ (já que $ A = 4 $). Agora, somamos as massas dos prótons e nêutrons:
Z = 2 ó
N = 2 ê
A = 4
A massa real do núcleo de hélio-4 é $ 4,002602, \mathrm{u} $. Então, o defeito de massa é:
Massa total dos prótons = Z times mp = 2 times 1,007825, u = 2,01565, u
Convertendo esse defeito de massa para energia (sabendo que $ 1, \mathrm{u} = 931,5, \mathrm{MeV}/c^2 $):
Massa total dos nêutrons = N times mn = 2 times 1,008665, u = 2,01733, u çã
Por fim, a energia de ligação por nucleon:
Massa total separada = 2,01565, u + 2,01733, u = 4,03298, u çã

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para o oxigênio-16 ( 8^16 O).
Número de prótons $ Z = 8 $ e número de nêutrons $ N = 8 $. Calculando as massas:
Z = 8 ó
N = 8 ê
Massa total dos prótons = 8 times 1,007825, u = 8,0626, u
Massa real do núcleo de oxigênio-16 é $ 15,994915, \mathrm{u} $, então:
Massa total dos nêutrons = 8 times 1,008665, u = 8,06932, u
Convertendo para energia:
Massa total separada = 8,0626, u + 8,06932, u = 16,13192, u çã
Energia de ligação por nucleon:
15,994915, u çã

Passo 5

Vamos calcular agora para o ferro-56 ( 26^56 Fe).
Número de prótons $ Z = 26 $ e número de nêutrons $ N = 30 $.
Z = 26 ó
N = 30 ê
Massa total dos prótons = 26 times 1,007825, u = 26,20345, u
Massa real do núcleo de ferro-56 é $ 55,934942, \mathrm{u} $:
Massa total dos nêutrons = 30 times 1,008665, u = 30,25995, u
Convertendo para energia:
Massa total separada = 26,20345, u + 30,25995, u = 56,4634, u çã
Energia de ligação por nucleon:
55,934942, u çã

Passo 6

Por fim, vamos calcular para o urânio-238 ( 92^238 U).
Número de prótons $ Z = 92 $ e número de nêutrons $ N = 146 $.
Z = 92 ê
N = 146
Massa real do núcleo de urânio-238 é $ 238,050788, \mathrm{u} $:
Massa total dos prótons = 92 times 1,007825, u = 92,720nolinebreak u
Convertendo para energia:
Massa total dos nêutrons = 146 times 1,008665, u = 147,263, u çã
Energia de ligação por nucleon:
Massa total separada = 92,720, u + 147,263, u = 239,983, u çã

Resposta

As energias de ligação por nucleon para os núcleos são aproximadamente:
  • Hélio-4: $ 7,075, \mathrm{MeV}/nucleon $
  • Oxigênio-16: $ 7,973, \mathrm{MeV}/nucleon $
  • Ferro-56: $ 8,805, \mathrm{MeV}/nucleon $
  • Urânio-238: $ 7,563, \mathrm{MeV}/nucleon $
Observamos que a energia de ligação por nucleon aumenta conforme $ A $ aumenta, atingindo um pico próximo ao ferro-56. Depois disso, ela começa a diminuir novamente. Isso mostra que os núcleos mais estáveis têm um número de nucleons em torno de 56, onde a energia de ligação por nucleon é máxima.

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