Faça uma tabela mostrando todos os conjuntos de números quânticos possíveis para um elétron no nível
em um átomo de hidrogênio. Quais são as energias desses estados?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer uma tabela com todos os conjuntos de números quânticos possíveis para um elétron no nível $ n=3 $ em um átomo de hidrogênio e também descobrir as energias desses estados. Para isso, vamos precisar entender os números quânticos e como eles determinam os estados de energia no átomo de hidrogênio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os números quânticos que a gente precisa considerar:
- Número quântico principal ($ n $): Indica o nível de energia principal. No nosso caso, $ n=3 $.
- Número quântico azimutal ($ l $): Relaciona-se à forma do orbital e pode variar de $ 0 $ até $ n-1 $. Para $ n=3 $, $ l $ pode ser $ 0, 1, 2 $.
- Número quântico magnético ($ m_l $): Relaciona-se à orientação do orbital no espaço e pode variar de $ -l $ até $ +l $. Então, para cada valor de $ l $, teremos diferentes valores de $ m_l $.
- Número quântico de spin ($ m_s $): Diz o sentido do spin do elétron e pode ser $ +\frac{1}{2} $ ou $ -\frac{1}{2} $.
Vamos montar a tabela considerando todas essas possibilidades.
Passo 3
Vamos listar todas as combinações possíveis para cada número quântico:
-
Para $ l = 0 $:
- $ m_l = 0 $
- $ m_s = +\frac{1}{2}, -\frac{1}{2} $
-
Para $ l = 1 $:
- $ m_l = -1, 0, +1 $
- $ m_s = +\frac{1}{2}, -\frac{1}{2} $
-
Para $ l = 2 $:
- $ m_l = -2, -1, 0, +1, +2 $
- $ m_s = +\frac{1}{2}, -\frac{1}{2} $
Agora, vamos organizar essas combinações em uma tabela.
Passo 4
Aqui está a tabela com todos os conjuntos de números quânticos para $ n=3 $:
$ n $ | $ l $ | $ m_l $ | $ m_s $ |
---|---|---|---|
3 | 0 | 0 | $ +\frac{1}{2} $ |
3 | 0 | 0 | $ -\frac{1}{2} $ |
3 | 1 | -1 | $ +\frac{1}{2} $ |
3 | 1 | -1 | $ -\frac{1}{2} $ |
3 | 1 | 0 | $ +\frac{1}{2} $ |
3 | 1 | 0 | $ -\frac{1}{2} $ |
3 | 1 | +1 | $ +\frac{1}{2} $ |
3 | 1 | +1 | $ -\frac{1}{2} $ |
3 | 2 | -2 | $ +\frac{1}{2} $ |
3 | 2 | -2 | $ -\frac{1}{2} $ |
3 | 2 | -1 | $ +\frac{1}{2} $ |
3 | 2 | -1 | $ -\frac{1}{2} $ |
3 | 2 | 0 | $ +\frac{1}{2} $ |
3 | 2 | 0 | $ -\frac{1}{2} $ |
3 | 2 | +1 | $ +\frac{1}{2} $ |
3 | 2 | +1 | $ -\frac{1}{2} $ |
3 | 2 | +2 | $ +\frac{1}{2} $ |
3 | 2 | +2 | $ -\frac{1}{2} $ |
Passo 5
Agora, vamos calcular as energias desses estados. No átomo de hidrogênio, a energia depende apenas do número quântico principal $ n $ e é dada pela fórmula:
Para $ n=3 $:
Isso significa que todos os estados com $ n=3 $ têm a mesma energia de aproximadamente $ -1,51 , eV $.
Resposta
Todos os conjuntos de números quânticos para um elétron no nível $ n=3 $ em um átomo de hidrogênio estão listados na tabela acima, e a energia desses estados é aproximadamente $ -1,51 , eV $.