Faça uma tabela mostrando todos os conjuntos de números quânticos possíveis para um elétron no nível n=3 em um átomo de hidrogênio. Quais são as energias desses estados?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente fazer uma tabela com todos os conjuntos de números quânticos possíveis para um elétron no nível $ n=3 $ em um átomo de hidrogênio e também descobrir as energias desses estados. Para isso, vamos precisar entender os números quânticos e como eles determinam os estados de energia no átomo de hidrogênio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os números quânticos que a gente precisa considerar:
  1. Número quântico principal ($ n $): Indica o nível de energia principal. No nosso caso, $ n=3 $.
  2. Número quântico azimutal ($ l $): Relaciona-se à forma do orbital e pode variar de $ 0 $ até $ n-1 $. Para $ n=3 $, $ l $ pode ser $ 0, 1, 2 $.
  3. Número quântico magnético ($ m_l $): Relaciona-se à orientação do orbital no espaço e pode variar de $ -l $ até $ +l $. Então, para cada valor de $ l $, teremos diferentes valores de $ m_l $.
  4. Número quântico de spin ($ m_s $): Diz o sentido do spin do elétron e pode ser $ +\frac{1}{2} $ ou $ -\frac{1}{2} $.
Vamos montar a tabela considerando todas essas possibilidades.

Passo 3

Vamos listar todas as combinações possíveis para cada número quântico:
  • Para $ l = 0 $:
    • $ m_l = 0 $
    • $ m_s = +\frac{1}{2}, -\frac{1}{2} $
  • Para $ l = 1 $:
    • $ m_l = -1, 0, +1 $
    • $ m_s = +\frac{1}{2}, -\frac{1}{2} $
  • Para $ l = 2 $:
    • $ m_l = -2, -1, 0, +1, +2 $
    • $ m_s = +\frac{1}{2}, -\frac{1}{2} $
Agora, vamos organizar essas combinações em uma tabela.

Passo 4

Aqui está a tabela com todos os conjuntos de números quânticos para $ n=3 $:
$ n $ $ l $ $ m_l $ $ m_s $
3 0 0 $ +\frac{1}{2} $
3 0 0 $ -\frac{1}{2} $
3 1 -1 $ +\frac{1}{2} $
3 1 -1 $ -\frac{1}{2} $
3 1 0 $ +\frac{1}{2} $
3 1 0 $ -\frac{1}{2} $
3 1 +1 $ +\frac{1}{2} $
3 1 +1 $ -\frac{1}{2} $
3 2 -2 $ +\frac{1}{2} $
3 2 -2 $ -\frac{1}{2} $
3 2 -1 $ +\frac{1}{2} $
3 2 -1 $ -\frac{1}{2} $
3 2 0 $ +\frac{1}{2} $
3 2 0 $ -\frac{1}{2} $
3 2 +1 $ +\frac{1}{2} $
3 2 +1 $ -\frac{1}{2} $
3 2 +2 $ +\frac{1}{2} $
3 2 +2 $ -\frac{1}{2} $

Passo 5

Agora, vamos calcular as energias desses estados. No átomo de hidrogênio, a energia depende apenas do número quântico principal $ n $ e é dada pela fórmula:
n
Para $ n=3 $:
En = -13,6 , eVn^2
Isso significa que todos os estados com $ n=3 $ têm a mesma energia de aproximadamente $ -1,51 , eV $.

Resposta

Todos os conjuntos de números quânticos para um elétron no nível $ n=3 $ em um átomo de hidrogênio estão listados na tabela acima, e a energia desses estados é aproximadamente $ -1,51 , eV $.

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