Calcule o fluxo elétrico através de um cilindro fechado de comprimento L e raio R, centrado no eixo z.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular o fluxo elétrico através de um cilindro fechado com comprimento e raio , centrado no eixo . Para resolver isso, precisamos lembrar do conceito de fluxo elétrico e das fórmulas relacionadas. O fluxo elétrico nos ajuda a entender como o campo elétrico passa através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de fluxo elétrico. O fluxo elétrico ( Phi = integral E cdot A ) através de uma superfície é dado pela integral do produto escalar do campo elétrico ( ) pela área ( ) dessa superfície:
Isso significa que precisamos conhecer o campo elétrico presente e a orientação da superfície pelo qual estamos calculando o fluxo.

Passo 3

Como a questão não especifica o campo elétrico, vamos considerar um caso comum onde o campo elétrico é uniforme e está alinhado com o eixo (ou seja, ). Isso simplifica nossos cálculos, pois o campo elétrico tem a mesma direção em toda a superfície do cilindro.

Passo 4

O cilindro fechado tem duas partes principais pela qual o fluxo pode passar: as bases superior e inferior (círculos) e a superfície lateral (a parte curva do cilindro).
  • Bases (Superior e Inferior): O campo elétrico está perpendicular a essas superfícies. Portanto, haverá fluxo através de ambas.
  • Superfície Lateral: O campo elétrico é paralelo a essa superfície, então o fluxo através dela será zero.

Passo 5

Vamos calcular o fluxo através das bases. A área de cada base é:
A = pi R^2
Como o campo é uniforme e perpendicular às bases, o fluxo através de cada base é:
Phibase = E cdot A = E pi R^2
Como há duas bases, o fluxo total será a soma dos fluxos das duas bases.

Passo 6

No entanto, uma base terá o fluxo entrando e a outra saindo do cilindro. Assim, se considerarmos o sentido do fluxo, eles se cancelam:
Phitotal = Phibase superior + Phibase inferior = E pi R^2 - E pi R^2 = 0
Isso significa que, mesmo com um campo elétrico presente, o fluxo total através de um cilindro fechado é zero quando o campo é uniforme e alinhado com o eixo do cilindro.

Resposta

O fluxo elétrico total através do cilindro fechado é zero ( ).

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