Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício é sobre integrais indefinidas e vamos usar a técnica de substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar substituições que envolvem funções trigonométricas para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, observamos que temos
no integrando, o que sugere uma substituição trigonométrica adequada para expressões da forma
. Nesse caso, usamos a substituição
. Essa substituição aproveita a identidade trigonométrica
, que vai ajudar a simplificar a integral.
Passo 3
Com a substituição
, precisamos encontrar
em termos de
. A derivada de
em relação a
é:
Agora, vamos substituir
e
na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral:
Simplificando o radical:
Agora, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
em relação a
. Sabemos que
, então:
Integrando termo a termo:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Sabemos que
, então
e
. Além disso,
.
Substituindo de volta:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(b) e
.
(b)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:
(h)
(h)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:
(f)
(f)
Calcule as integrais definidas:
(b)
(b)