Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(b)
e
.
(b)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Precisamos determinar a área da região no plano que é limitada simultaneamente pelas curvas
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo, especialmente a integração para calcular áreas entre curvas. Vamos precisar identificar os pontos onde essas curvas se interceptam e então configurar a integral adequada para encontrar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção entre as curvas para saber os limites de integração. Temos três curvas:
Vamos encontrar onde
intercepta
:
Substituindo
na primeira equação:
Então, um ponto de interseção é
.
Agora, vamos encontrar onde
intercepta
:
Substituindo
na equação
:
Então, outro ponto de interseção é
.
Por último, vamos verificar onde
intercepta
:
Igualando as duas equações:
Então, o terceiro ponto de interseção é
.
Passo 3
Agora que temos os pontos de interseção, podemos visualizar a região limitada pelas curvas:
- A linha
é o eixo . - A linha
é uma linha horizontal. - A linha
é uma linha reta com inclinação positiva.
A região de interesse está entre
e
, e entre
e
.
Passo 4
Para encontrar a área dessa região, vamos configurar uma integral definida em relação a
, já que as funções estão expressas em termos de
. A fórmula para a área
entre duas curvas
e
de
a
é:
No nosso caso:
-
(a curva à direita) -
(a curva à esquerda, que é o eixo ) -
-
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula da área:
Agora, vamos calcular essa integral.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar para a área definida.
Passo 7
Aplicando os limites de integração de
a
:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
,
e
é igual a 25 unidades de área.
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(g)
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(b)
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