Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(b) x = 8 + 2y, y = 1 e x = 0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Precisamos determinar a área da região no plano que é limitada simultaneamente pelas curvas , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo, especialmente a integração para calcular áreas entre curvas. Vamos precisar identificar os pontos onde essas curvas se interceptam e então configurar a integral adequada para encontrar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção entre as curvas para saber os limites de integração. Temos três curvas:
Vamos encontrar onde intercepta :
Substituindo na primeira equação:
Então, um ponto de interseção é .
Agora, vamos encontrar onde intercepta :
Substituindo na equação :
Então, outro ponto de interseção é .
Por último, vamos verificar onde intercepta :
Igualando as duas equações:
Então, o terceiro ponto de interseção é .

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção, podemos visualizar a região limitada pelas curvas:
  • A linha é o eixo .
  • A linha é uma linha horizontal.
  • A linha é uma linha reta com inclinação positiva.
A região de interesse está entre e , e entre e .

Passo 4

Para encontrar a área dessa região, vamos configurar uma integral definida em relação a , já que as funções estão expressas em termos de . A fórmula para a área entre duas curvas e de a é:
No nosso caso:
  • (a curva à direita)
  • (a curva à esquerda, que é o eixo )

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula da área:
Agora, vamos calcular essa integral.

Passo 6

Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar para a área definida.

Passo 7

Aplicando os limites de integração de a :

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas , e é igual a 25 unidades de área.

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