Calcule as integrais pelo método da substituição integralpi36^pi9 sec ^2 x(4 x-pi / 9) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida usando o método da substituição:
integralpi36^pi9 sec^2x (4x - pi9) dx
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição (também conhecida como u-substituição). Vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica e como manipular funções trigonométricas como a sec^2x.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da integral será nossa substituição. Observando a expressão, vemos que temos sec^2x multiplicando (4x - pi9). Sabemos que a derivada de tan x é sec^2x, então faz sentido escolher u = tan x. Isso vai simplificar a integral.

Passo 3

Vamos definir nossa substituição:
u = tan x
Agora, precisamos encontrar du. Sabemos que a derivada de tan x em relação a x é sec^2x, então:
du = sec^2x , dx
Isso significa que sec^2x , dx = du.

Passo 4

Substituímos as partes da integral com u e du:
integralpi36^pi9 sec^2x (4x - pi9) dx = integralu1^u2 (4x - pi9) du
Aqui, u1 = tan(pi36) e u2 = tan(pi9).

Passo 5

Agora, precisamos expressar x em termos de u para substituir na integral. Mas isso pode complicar as coisas, então vamos optar por uma integração por partes, já que temos um produto de funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = 4x - pi9 Rightarrow du = 4 , dx
dv = sec^2x , dx Rightarrow v = tan x

Passo 6

Aplicando a integração por partes:
integral sec^2x (4x - pi9) dx = (4x - pi9) tan x - integral tan x cdot 4 , dx
Simplificando:
= (4x - pi9) tan x - 4 integral tan x , dx
Sabemos que integral tan x , dx = -ln|cos x| + C, então:
= (4x - pi9) tan x - 4 (-ln|cos x|) + C
= (4x - pi9) tan x + 4 ln|cos x| + C

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de pi36 a pi9:
[(4x - pi9) tan x + 4 ln|cos x|]pi36^pi9
Calculamos primeiro para x = pi9:
(4 cdot pi9 - pi9) tan (pi9) + 4 ln|cos (pi9)|
= (4pi9 - pi9) tan (pi9) + 4 ln(cos (pi9))
= 3pi9 tan (pi9) + 4 ln(cos (pi9))
= pi3 tan (pi9) + 4 ln(cos (pi9))
Agora para x = pi36:
(4 cdot pi36 - pi9) tan (pi36) + 4 ln(cos (pi36))
= (pi9 - pi9) tan (pi36) + 4 ln(cos (pi36))
= 0 + 4 ln(cos (pi36))
= 4 ln(cos (pi36))

Passo 8

Subtraímos os valores:
(pi3 tan (pi9) + 4 ln(cos (pi9))) - (4 ln(cos (pi36)))
= pi3 tan (pi9) + 4 ln(cos (pi9)) - 4 ln(cos (pi36))

Resposta

A integral definida é igual a:
pi3 tan (pi9) + 4 ln(cos (pi9)) - 4 ln(cos (pi36))

Exercícios relacionados