Calcule a integral pela técnica de integração por partes integral x^5 e^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral x^5 e^2 x , dx. A matéria que vamos usar aqui é a integração por partes, uma técnica muito útil para integrar o produto de duas funções. Para isso, precisamos identificar qual parte da expressão vamos chamar de e qual de . Isso vai nos ajudar a simplificar a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que será e o que será . Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica quando derivada. Aqui, vai ser uma boa escolha para porque, ao derivar, o expoente diminui, facilitando as próximas etapas. Assim, deixamos .

Passo 3

Agora, vamos derivar du = 5x^4 , dx e integrar v = e^2x2 :
  • Derivada de :
  • Integral de : (Lembrando que )

Passo 4

Aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x^5 e^2x , dx = x^5 cdot e^2x2 - integral e^2x2 cdot 5x^4 , dx
Simplificando:
= x^5 e^2x2 - 52 integral x^4 e^2x , dx
Agora, percebemos que ainda temos uma integral com , então precisamos aplicar a integração por partes de novo.

Passo 5

Repetimos o processo para du = 4x^3 , dx e v = e^2x2 :
Escolhemos integral x^4 e^2x , dx = x^4 cdot e^2x2 - integral e^2x2 cdot 4x^3 , dx e = x^4 e^2x2 - 2 integral x^3 e^2x , dx .
Derivando e integrando:
integral x^5 e^2x , dx = x^5 e^2x2 - 52 ( x^4 e^2x2 - 2 integral x^3 e^2x , dx )
Aplicando a fórmula:
= x^5 e^2x2 - 5x^4 e^2x4 + 5 integral x^3 e^2x , dx
Simplificando:
Voltamos à nossa expressão original:
Simplificando ainda mais:
Esse processo continua reduzindo o expoente de a cada passo, até chegarmos a uma integral simples de .

Resposta

Após aplicar a técnica de integração por partes repetidamente, a integral fica:
integral x^5 e^2x , dx = e^2x2 ( x^5 - 52x^4 + 10x^3 - 15x^2 + 15x - 152 ) + C
onde é a constante de integração.

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