Calcule a integral pela técnica de integração por partes
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A matéria que vamos usar aqui é a integração por partes, uma técnica muito útil para integrar o produto de duas funções. Para isso, precisamos identificar qual parte da expressão vamos chamar de
e qual de
. Isso vai nos ajudar a simplificar a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher o que será
e o que será
. Geralmente, escolhemos
como a parte que simplifica quando derivada. Aqui,
vai ser uma boa escolha para
porque, ao derivar, o expoente diminui, facilitando as próximas etapas. Assim, deixamos
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
e integrar
:
- Derivada de
: - Integral de
: (Lembrando que )
Passo 4
Aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Agora, percebemos que ainda temos uma integral com
, então precisamos aplicar a integração por partes de novo.
Passo 5
Repetimos o processo para
:
Escolhemos
e
.
Derivando e integrando:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Voltamos à nossa expressão original:
Simplificando ainda mais:
Esse processo continua reduzindo o expoente de
a cada passo, até chegarmos a uma integral simples de
.
Resposta
Após aplicar a técnica de integração por partes repetidamente, a integral fica:
onde
é a constante de integração.