Calcule as integrais trigonométricas:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de
no intervalo de
a
. Isso envolve funções trigonométricas, então vamos usar técnicas de integração específicas para essas funções, como substituição trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das definições das funções cotangente e cosecante:
Então, podemos reescrever a expressão da integral assim:
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Então, podemos escrever:
Passo 4
Vamos substituir na integral original:
Sabemos que
, então
. Além disso, da substituição anterior, temos
.
Então, a integral fica:
Passo 5
Para integrar
, vamos usar uma substituição adicional. Vamos definir:
Reescrevendo a integral:
Sabendo que
, então
, substituímos na integral:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, voltamos para a variável original
, lembrando que
e
:
E como
, temos:
Resposta
Para encontrar o valor da integral definida
, substituímos os limites na expressão integrada:
Calculando nos limites:
-
Para
: Substituindo: -
-
Para
: Substituindo:Simplificando: -
Finalmente, a diferença entre os limites:
Portanto, o valor da integral é: