Calcule as integrais trigonométricas: integralpi4^pi2 cot ^5(phi) csc ^3(phi) d phi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de cot^5(phi) csc^3(phi) no intervalo de pi4 a pi2. Isso envolve funções trigonométricas, então vamos usar técnicas de integração específicas para essas funções, como substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições das funções cotangente e cosecante:
  • cot(phi) = cos(phi)sin(phi)
  • csc(phi) = 1sin(phi)
Então, podemos reescrever a expressão da integral assim:
cot^5(phi) csc^3(phi) = (cos(phi)sin(phi))^5 (1sin(phi))^3 = cos^5(phi)sin^8(phi)

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
u = cot(phi)
Calculando a derivada de u em relação a phi:
dudphi = -csc^2(phi)
Então, podemos escrever:
du = -csc^2(phi) dphi Rightarrow dphi = -ducsc^2(phi)

Passo 4

Vamos substituir na integral original:
integral cot^5(phi) csc^3(phi) dphi = integral u^5 csc^3(phi) dphi
Sabemos que csc^2(phi) = 1 + cot^2(phi) = 1 + u^2, então csc(phi) = raiz1 + u^2. Além disso, da substituição anterior, temos dphi = -ducsc^2(phi) = -du1 + u^2.
Então, a integral fica:
integral u^5 raiz1 + u^2 (-du1 + u^2) = -integral u^5 raiz1 + u^21 + u^2 du = -integral u^5 (1 + u^2)^-1/2 du

Passo 5

Para integrar - integral u^5 (1 + u^2)^-1/2 du, vamos usar uma substituição adicional. Vamos definir:
v = 1 + u^2 Rightarrow dv = 2u du Rightarrow u du = dv2
Reescrevendo a integral:
- integral u^5 (1 + u^2)^-1/2 du = - integral u^4 cdot u cdot (1 + u^2)^-1/2 du = - integral u^4 cdot dv2 cdot v^-1/2
Sabendo que u^2 = v - 1, então u^4 = (v - 1)^2, substituímos na integral:
- 12 integral (v - 1)^2 v^-1/2 dv = - 12 integral (v^3/2 - 2v^1/2 + v^-1/2) dv
Integrando termo a termo:
- 12 ( 25 v^5/2 - 43 v^3/2 + 2v^1/2 ) + C
Simplificando:
- 15 v^5/2 + 23 v^3/2 - v^1/2 + C

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original phi, lembrando que v = 1 + u^2 e u = cot(phi):
- 15 (1 + cot^2(phi))^5/2 + 23 (1 + cot^2(phi))^3/2 - (1 + cot^2(phi))^1/2 + C
E como 1 + cot^2(phi) = csc^2(phi), temos:
- 15 csc^5(phi) + 23 csc^3(phi) - csc(phi) + C

Resposta

Para encontrar o valor da integral definida integralpi4^pi2 cot^5(phi) csc^3(phi) dphi, substituímos os limites na expressão integrada:
[ - 15 csc^5(phi) + 23 csc^3(phi) - csc(phi) ]pi4^pi2
Calculando nos limites:
  1. Para phi = pi2:
    • cot(pi2) = 0
    • csc(pi2) = 1
    Substituindo:
    - 15(1)^5 + 23(1)^3 - (1) = -15 + 23 - 1 = -15 + 23 - 55 = -65 + 23 = -1815 + 1015 = -815
  2. Para phi = pi4:
    • cot(pi4) = 1
    • csc(pi4) = raiz2
    Substituindo:
    - 15(raiz2)^5 + 23(raiz2)^3 - raiz2 = -15(4raiz2) + 23(2raiz2) - raiz2 = -4raiz25 + 4raiz23 - raiz2
    Simplificando:
    -4raiz25 + 4raiz23 - raiz2 = raiz2 ( -45 + 43 - 1 ) = raiz2 ( -1215 + 2015 - 1515 ) = raiz2 ( -715 ) = -7raiz215
Finalmente, a diferença entre os limites:
-815 - ( -7raiz215 ) = -815 + 7raiz215 = 7raiz2 - 815
Portanto, o valor da integral é:
boxed 7raiz2 - 815

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