Determine o raio de convergência e todos os valores de para os quais as seguintes séries de potência convergem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o raio de convergência e todos os valores de para os quais a série de potência
converge. O conteúdo aqui envolve séries de potência e testes de convergência, então vamos precisar entender um pouco sobre esses tópicos para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para tornar mais fácil de trabalhar. Observe que pode ser reescrito como . Assim, a série fica:
Essa forma nos ajuda a identificar o comportamento da série dependendo do valor de .
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, podemos usar o Teste da Raiz ou o Teste da Razão. Aqui, vamos utilizar o Teste da Raiz, que é útil para séries com termos elevados a uma potência . A ideia é calcular o limite:
Simplificando, temos:
L = (x - 2)^2
Sabemos que , então:
De acordo com o Teste da Raiz, a série converge absolutamente se e diverge se . Se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Então, para que a série converja, precisamos que:
(x - 2)^2 < 1
Resolvendo essa inequação:
|x - 2| < 1
Isso nos dá um intervalo onde a série pode convergir. O raio de convergência é o valor que multiplica a variável central na inequação, que aqui é . Portanto, .
Passo 5
Agora, vamos determinar os valores de 1 < x < 3 para os quais a série converge. Já sabemos que , o que nos dá o intervalo:
Mas precisamos verificar o que acontece nos extremos desse intervalo, ou seja, e .
Essa é uma série alternada, e para verificar a convergência, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos decrescem em valor absoluto e tendem a zero, a série converge. Aqui, os termos sumn=1^infty (-1)^n-12n decrescem e tendem a zero, então a série converge para .
Para :
A série fica igual à anterior:
Novamente, aplicando o Teste da Série Alternada, concluímos que a série também converge para .
Resposta
O raio de convergência é e a série converge para todos os valores de no intervalo .