Determine o raio de convergência e todos os valores de x para os quais as seguintes séries de potência convergem.
sumn=1^infty (-1)^n-1(x-2)^2 n2 n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o raio de convergência e todos os valores de sumn=1^infty (-1)^n-1(x-2)^2n2n para os quais a série de potência
converge. O conteúdo aqui envolve séries de potência e testes de convergência, então vamos precisar entender um pouco sobre esses tópicos para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para tornar mais fácil de trabalhar. Observe que sumn=1^infty (-1)^n-1[(x-2)^2]^n2n pode ser reescrito como . Assim, a série fica:
Essa forma nos ajuda a identificar o comportamento da série dependendo do valor de .

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, podemos usar o Teste da Raiz ou o Teste da Razão. Aqui, vamos utilizar o Teste da Raiz, que é útil para séries com termos elevados a uma potência L = limn to infty raiz[n]| (-1)^n-1[(x-2)^2]^n2n | . A ideia é calcular o limite:
L = limn to infty raiz[n](x-2)^2n2n = limn to infty (x-2)^2(2n)^1/n
Simplificando, temos:
L = (x - 2)^2
Sabemos que , então:
De acordo com o Teste da Raiz, a série converge absolutamente se e diverge se . Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Então, para que a série converja, precisamos que:
(x - 2)^2 < 1
Resolvendo essa inequação:
|x - 2| < 1
Isso nos dá um intervalo onde a série pode convergir. O raio de convergência é o valor que multiplica a variável central na inequação, que aqui é . Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos determinar os valores de 1 < x < 3 para os quais a série converge. Já sabemos que , o que nos dá o intervalo:
Mas precisamos verificar o que acontece nos extremos desse intervalo, ou seja, e .

Passo 6

Para (x - 2)^2 = (1 - 2)^2 = 1 :
sumn=1^infty (-1)^n-1 cdot 1^n2n = sumn=1^infty (-1)^n-12n
A série se torna:
(x - 2)^2 = (3 - 2)^2 = 1
Essa é uma série alternada, e para verificar a convergência, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos decrescem em valor absoluto e tendem a zero, a série converge. Aqui, os termos sumn=1^infty (-1)^n-12n decrescem e tendem a zero, então a série converge para .
Para :
A série fica igual à anterior:
Novamente, aplicando o Teste da Série Alternada, concluímos que a série também converge para .

Resposta

O raio de convergência é e a série converge para todos os valores de no intervalo .

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