Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A questão pede para calcular a integral de uma função racional:
Vamos usar o método de frações parciais para decompor essa expressão, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são frações parciais. Quando temos uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios, podemos decompor essa fração em uma soma de frações mais simples. Isso facilita bastante na hora de integrar.
No nosso caso, o denominador é . Vamos expressar a fração como:
Aqui, , , , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir e simplificar os termos do lado direito.
Passo 4
Expandindo cada termo:
Agora somamos todos esses termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos do lado direito com os do lado esquerdo da equação original:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , , , e .
Passo 6
Primeiro, da primeira equação:
A + B = 3 Rightarrow A = 3 - B
Substituímos 2B + C = 4 Rightarrow C = 4 - 2B na segunda equação:
6(3 - B) + 3B + 2(4 - 2B) + D = 16
Agora, substituímos 18 - 6B + 3B + 8 - 4B + D = 16 26 - 7B + D = 16 D = 7B - 10 e 6B + 3(4 - 2B) + 2(7B - 10) + E = 20 na terceira equação:
6B + 12 - 6B + 14B - 20 + E = 20 14B - 8 + E = 20 E = -14B + 28