Calcule
f) integral 3 x^4+4 x^3+16 x^2+20 x+9(x+2)(x^2+3)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! A questão pede para calcular a integral de uma função racional:
integral 3 x^4+4 x^3+16 x^2+20 x+9(x+2)(x^2+3)^2 , dx
Vamos usar o método de frações parciais para decompor essa expressão, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são frações parciais. Quando temos uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios, podemos decompor essa fração em uma soma de frações mais simples. Isso facilita bastante na hora de integrar.
No nosso caso, o denominador é 3 x^4+4 x^3+16 x^2+20 x+9(x+2)(x^2+3)^2 = Ax+2 + Bx + Cx^2+3 + Dx + E(x^2+3)^2 . Vamos expressar a fração como:
Aqui, , , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 3x^4+4x^3+16x^2+20x+9 = A(x^2+3)^2 + (Bx + C)(x+2)(x^2 + 3) + (Dx + E)(x+2) para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir e simplificar os termos do lado direito.

Passo 4

Expandindo cada termo:
  1. A x^4 + 6A x^2 + 9A + B x^4 + 2B x^3 + 3B x^2 + 6B x + C x^3 + 2C x^2 + 3C x + 6C + D x^2 + (2D + E) x + 2E
  2. (A + B) x^4 + (2B + C) x^3 + (6A + 3B + 2C + D) x^2 + (6B + 3C + 2D + E) x + (9A + 6C + 2E)
Agora somamos todos esses termos:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos do lado direito com os do lado esquerdo da equação original:
A + B = 3 2B + C = 4 6A + 3B + 2C + D = 16 6B + 3C + 2D + E = 20 9A + 6C + 2E = 9
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , , , e .

Passo 6

Primeiro, da primeira equação:
A + B = 3 Rightarrow A = 3 - B
Substituímos 2B + C = 4 Rightarrow C = 4 - 2B na segunda equação:
6(3 - B) + 3B + 2(4 - 2B) + D = 16
Agora, substituímos 18 - 6B + 3B + 8 - 4B + D = 16 26 - 7B + D = 16 D = 7B - 10 e 6B + 3(4 - 2B) + 2(7B - 10) + E = 20 na terceira equação:
6B + 12 - 6B + 14B - 20 + E = 20 14B - 8 + E = 20 E = -14B + 28
Simplificando:
9(3 - B) + 6(4 - 2B) + 2(-14B + 28) = 9
Agora, substituímos 27 - 9B + 24 - 12B - 28B + 56 = 9 (27 + 24 + 56) + (-9B -12B -28B) = 9 107 - 49B = 9 -49B = -98 B = 2 , A = 3 - B = 3 - 2 = 1 C = 4 - 2B = 4 - 4 = 0 D = 7B - 10 = 14 - 10 = 4 E = -14B + 28 = -28 + 28 = 0 e na quarta equação:
Simplificando:
Por fim, substituímos , e na quinta equação:
Simplificando:
Agora, encontramos . Vamos encontrar os demais:

Passo 7

Agora que temos todos os valores:
A = 1, B = 2, C = 0, D = 4, E = 0
Substituindo esses valores na decomposição original:
3 x^4+4 x^3+16 x^2+20 x+9(x+2)(x^2+3)^2 = 1x+2 + 2xx^2+3 + 4x(x^2+3)^2

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x+2 , dx + integral 2xx^2+3 , dx + integral 4x(x^2+3)^2 , dx
Vamos resolver cada integral:
  1. integral 2xx^2+3 , dx = ln|x^2 + 3| + C
  2. Para integral 4x(x^2+3)^2 , dx = -2x^2+3 + C , fazemos a substituição , então :
  3. Para , também usamos , :

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
ln|x+2| + ln|x^2+3| - 2x^2+3 + C
Onde é a constante de integração.

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