Nos exercícios abaixo, responda qual das derivadas mistas de segunda ordem se pode calcular de maneira mais rápida: fxy ou f_yx ? Tente responder a esta questão antes de calcular as derivadas.
(a) f(x, y) = x * sen(y) + e^y
(b) f(x, y) = x ln(x) y
© f(x, y) = y + x/y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente descobrir, para cada função dada, qual das derivadas mistas de segunda ordem — ou — é mais fácil de calcular. Isso envolve trabalhar com derivadas parciais, que são aquelas em que derivamos em relação a uma variável mantendo a outra constante. Vamos precisar saber como derivar funções básicas e entender um pouco sobre derivadas mistas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as derivadas mistas e significam que a gente primeiro deriva em relação a e depois em relação a , ou vice-versa. Normalmente, se a função for bem comportada (derivável duas vezes de forma contínua), essas duas derivadas serão iguais graças ao Teorema de Clairaut. Mas, na prática, a gente vai verificar qual das ordens de derivação é mais simples para cada função.

Passo 3

Vamos analisar a primeira função:
(a)
Aqui, a função é uma soma de duas partes: e . Derivar em relação a é bem tranquilo, já que e são tratados como constantes. Então, calcular primeiro parece mais fácil.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda função:
(b)
Essa função envolve um produto e um logaritmo de um produto, o que pode complicar um pouco. Se a gente derivar em relação a primeiro, precisa usar a regra do produto e a regra da cadeia. Porém, se derivar em relação a primeiro, o fica como constante e a derivada fica mais simples.

Passo 5

Por fim, vamos examinar a terceira função:
©
Aqui, derivar em relação a primeiro pode ser mais complicado porque temos um termo , que envolve no denominador. Já derivar em relação a primeiro é mais simples, já que é tratado como uma constante e a derivada de em relação a é apenas .

Resposta

(a) Para , é mais fácil calcular .
(b) Para , é mais fácil calcular .
© Para , é mais fácil calcular .

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Calcule
f) integral 3 x^4+4 x^3+16 x^2+20 x+9(x+2)(x^2+3)^2 d x
Seja f(x) = log_3(raiz(1 + 2^x)).
© f é invertível? Justifique.
Calcule as integrais que seguem (escolha apenas 6)
e) integral sen^2(5 t) d t
Derive e determine o domínio de f em cada um dos itens abaixo:
(b) f(x) = e^(sen(x))