Nos exercícios abaixo, responda qual das derivadas mistas de segunda ordem se pode calcular de maneira mais rápida:
ou
? Tente responder a esta questão antes de calcular as derivadas.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente descobrir, para cada função dada, qual das derivadas mistas de segunda ordem —
ou
— é mais fácil de calcular. Isso envolve trabalhar com derivadas parciais, que são aquelas em que derivamos em relação a uma variável mantendo a outra constante. Vamos precisar saber como derivar funções básicas e entender um pouco sobre derivadas mistas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as derivadas mistas
e
significam que a gente primeiro deriva em relação a
e depois em relação a
, ou vice-versa. Normalmente, se a função for bem comportada (derivável duas vezes de forma contínua), essas duas derivadas serão iguais graças ao Teorema de Clairaut. Mas, na prática, a gente vai verificar qual das ordens de derivação é mais simples para cada função.
Passo 3
Vamos analisar a primeira função:
(a)
Aqui, a função é uma soma de duas partes: e
. Derivar em relação a
é bem tranquilo, já que e
são tratados como constantes. Então, calcular
primeiro parece mais fácil.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda função:
(b)
Essa função envolve um produto e um logaritmo de um produto, o que pode complicar um pouco. Se a gente derivar em relação a
primeiro, precisa usar a regra do produto e a regra da cadeia. Porém, se derivar em relação a
primeiro, o
fica como constante e a derivada fica mais simples.
Passo 5
Por fim, vamos examinar a terceira função:
©
Aqui, derivar em relação a
primeiro pode ser mais complicado porque temos um termo
, que envolve
no denominador. Já derivar em relação a
primeiro é mais simples, já que
é tratado como uma constante e a derivada de
em relação a
é apenas
.
Resposta
(a) Para , é mais fácil calcular
.
(b) Para
, é mais fácil calcular
.
© Para
, é mais fácil calcular
.
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f)
f)
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.
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©
Calcule as integrais que seguem (escolha apenas 6)
e)
e)
Derive e determine o domínio de
em cada um dos itens abaixo:
(b)
(b)