Calcule a integral definida ∫ 2 1 x √ x 2 + 1 d x e marque a opção correta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida . Esse tipo de problema cai na matéria de Cálculo Integral, mais especificamente em técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é bem útil quando a integral tem uma função composta.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar de o que está dentro da raiz, ou seja:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é:
Isso significa que:
Ou, reorganizando:
Passo 4
Vamos substituir e na integral original:
Passo 5
Os novos limites de integração, e , são:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar :
Então, substituindo na nossa integral:
Passo 7
Agora, vamos substituir os limites de integração:
13 (5^3/2 - 2^3/2)
Sabemos que:
5^3/2 = raiz5^3 approx 11,1803
2^3/2 = raiz2^3 approx 2,8284
Passo 8
Subtraindo os valores:
11,1803 - 2,8284 = 8,3519
Multiplicando por 13:
13 times 8,3519 approx 2,7839
Resposta
O valor da integral definida é aproximadamente 2,784.