Calcule a integral definida ∫ 2 1 x √ x 2 + 1 d x e marque a opção correta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida integral1^2 x raizx^2 + 1 , dx. Esse tipo de problema cai na matéria de Cálculo Integral, mais especificamente em técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é bem útil quando a integral tem uma função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar de u o que está dentro da raiz, ou seja:
u = x^2 + 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x, que é:
dudx = 2x
Isso significa que:
du = 2x , dx
Ou, reorganizando:
x , dx = du2

Passo 4

Vamos substituir u e x , dx na integral original:
integral1^2 x raizx^2 + 1 , dx = integralu(1)^u(2) raizu cdot du2

Passo 5

Os novos limites de integração, u(1) e u(2), são:
u(1) = 1^2 + 1 = 2
u(2) = 2^2 + 1 = 5
Então, a integral fica:
12 integral2^5 raizu , du

Passo 6

Vamos integrar raizu:
integral raizu , du = integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C
Então, substituindo na nossa integral:
12 cdot 23 u^3/2 |2^5 = 13 u^3/2 |2^5

Passo 7

Agora, vamos substituir os limites de integração:
13 (5^3/2 - 2^3/2)
Sabemos que:
5^3/2 = raiz5^3 approx 11,1803
2^3/2 = raiz2^3 approx 2,8284

Passo 8

Subtraindo os valores:
11,1803 - 2,8284 = 8,3519
Multiplicando por 13:
13 times 8,3519 approx 2,7839

Resposta

O valor da integral definida é aproximadamente 2,784.

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