Calcule a integral dupla de x y .dA sendo que r = (x,y) onde x maior ou igual a 0 e menor ou igual a 2 e y maior ou igual a 1 e menor ou igual a 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de $ x \cdot y $ sobre a região $ r = (x, y) $, onde $ x $ varia de 0 a 2 e $ y $ varia de 1 a 2. Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas, que servem pra calcular áreas, volumes ou acumular quantidades em duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como montar nossa integral dupla. A integral dupla de $ x \cdot y $ sobre a região dada fica assim:
x cdot y
Isso significa que vamos integrar $ x \cdot y $ primeiro em relação a $ y $, de 1 a 2, e depois o resultado, vamos integrar em relação a $ x $, de 0 a 2.

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a $ y $. Lembre-se que, quando integramos em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes. Então, $ x $ é uma constante na primeira integral.
y
A antiderivada de $ y $ em relação a $ y $ é $ \frac{y^2}{2} $. Então:
x

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites de integração para $ y $:
y
Então, após integrar em relação a $ y $, ficamos com $ 1,5x $.

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a $ x $:
x
A antiderivada de $ x $ em relação a $ x $ é $ \frac{x^2}{2} $. Então:
integralx=0^2 1,5x , dx

Passo 6

Vamos calcular os limites de integração para $ x $:
x

Resposta

O valor da integral dupla é 3.

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