Calcule a integral dupla de x y .dA sendo que r = (x,y) onde x maior ou igual a 0 e menor ou igual a 2 e y maior ou igual a 1 e menor ou igual a 2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de $ x \cdot y $ sobre a região $ r = (x, y) $, onde $ x $ varia de 0 a 2 e $ y $ varia de 1 a 2. Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas, que servem pra calcular áreas, volumes ou acumular quantidades em duas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como montar nossa integral dupla. A integral dupla de $ x \cdot y $ sobre a região dada fica assim:
Isso significa que vamos integrar $ x \cdot y $ primeiro em relação a $ y $, de 1 a 2, e depois o resultado, vamos integrar em relação a $ x $, de 0 a 2.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a $ y $. Lembre-se que, quando integramos em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes. Então, $ x $ é uma constante na primeira integral.
A antiderivada de $ y $ em relação a $ y $ é $ \frac{y^2}{2} $. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular os limites de integração para $ y $:
Então, após integrar em relação a $ y $, ficamos com $ 1,5x $.
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado em relação a $ x $:
A antiderivada de $ x $ em relação a $ x $ é $ \frac{x^2}{2} $. Então:
Passo 6
Vamos calcular os limites de integração para $ x $:
Resposta
O valor da integral dupla é 3.