Beleza, vamos resolver essa integral tripla em coordenadas esféricas. O enunciado nos pede para calcular . Para isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas esféricas e como integrar nessas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que, em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por , onde:
é a distância do ponto até a origem,
é o ângulo polar (medido a partir do eixo z),
é o ângulo azimutal (medido no plano xy a partir do eixo x).
A integral dada está configurada para calcular o volume em coordenadas esféricas, onde o elemento de volume é .
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a . A integral interna é:
Para resolver isso, aplicamos a integral de :
Avaliando de a :
Passo 4
Agora, substituímos o resultado na integral e seguimos:
Primeiro, integramos em relação a . Vamos fazer a substituição , então :