Calcule a integral integral0^2 pi integral0^pi integral0^(1-cos phi)2 rho^2 sen phi d rho d phi d theta em coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla em coordenadas esféricas. O enunciado nos pede para calcular integral0^2 pi integral0^pi integral0^(1-cos phi)2 rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas esféricas e como integrar nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que, em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por (rho, phi, theta), onde:
  • rho é a distância do ponto até a origem,
  • phi é o ângulo polar (medido a partir do eixo z),
  • theta é o ângulo azimutal (medido no plano xy a partir do eixo x).
A integral dada está configurada para calcular o volume em coordenadas esféricas, onde o elemento de volume é rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta.

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a rho. A integral interna é:
integral0^(1 - cos phi)2 rho^2 , drho
Para resolver isso, aplicamos a integral de rho^2:
integral rho^2 , drho = rho^33
Avaliando de 0 a 1 - cos phi2:
(1 - cos phi2)^33 - 0^33 = (1 - cos phi)^324

Passo 4

Agora, substituímos o resultado na integral e seguimos:
integral0^2pi integral0^pi (1 - cos phi)^324 sin phi , dphi , dtheta
Primeiro, integramos em relação a phi. Vamos fazer a substituição u = 1 - cos phi, então du = sin phi , dphi:
integral0^pi u^324 , du = 124 cdot u^44 |0^2 = 196 (16 - 0) = 16
Por fim, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 16 , dtheta = 16 cdot 2pi = pi3

Resposta

O valor da integral é pi3.

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